a: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AB//CD và AB=CD

AB//CD

=>AN//CD

AB=CD

AB=AN

Do đó: AN=CD

Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

Do đó: ANDC là hình bình hành

Hình bình hành ANDC có \(\hat{NAC}=90^0\)

nên ANDC là hình chữ nhật

c: Xét ΔAMN vuông tại A và ΔAEB vuông tại A có

AN=AB

\(\hat{ANM}=\hat{ABE}\) (hai góc so le trong, MN//BE)

Do đó: ΔAMN=ΔAEB

=>AM=AE

=>A là trung điểm của ME

Xét tứ giác MNEB có A là trung điểm chung của ME và NB

=>MNEB là hình bình hành

Hình bình hành MNEB có ME⊥NB

nên MNEB là hình thoi

Hình thoi MNEB trở thành hình vuông khi NB=ME

mà \(NB=2BA;ME=2AM\)

nên AB=AM

=>AC=2AB

• Phân tích: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
• Lời giải:
• • Xét tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷.
  • Theo giả thiết, Mcap M𝑀 là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶.
  • Trên tia BMcap B cap M𝐵𝑀, lấy điểm Dcap D𝐷 sao cho MD=MBcap M cap D equals cap M cap B𝑀𝐷=𝑀𝐵, nghĩa là Mcap M𝑀 là trung điểm của BDcap B cap D𝐵𝐷.
  • Vì tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷 có hai đường chéo ACcap A cap C𝐴𝐶 và BDcap B cap D𝐵𝐷 cắt nhau tại trung điểm Mcap M𝑀 của mỗi đường, nên tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành.

• Phân tích: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Lời giải:
• • Theo câu a), tứ giác ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành, suy ra CD∥ABcap C cap D is parallel to cap A cap B𝐶𝐷∥𝐴𝐵 và CD=ABcap C cap D equals cap A cap B𝐶𝐷=𝐴𝐵.
  • Theo giả thiết, Acap A𝐴 là trung điểm của BNcap B cap N𝐵𝑁, suy ra AN=ABcap A cap N equals cap A cap B𝐴𝑁=𝐴𝐵 và A,B,Ncap A comma cap B comma cap N𝐴,𝐵,𝑁 thẳng hàng.
  • Từ đó ta có CD∥ANcap C cap D is parallel to cap A cap N𝐶𝐷∥𝐴𝑁 và CD=ANcap C cap D equals cap A cap N𝐶𝐷=𝐴𝑁.
  • Tứ giác ACDNcap A cap C cap D cap N𝐴𝐶𝐷𝑁 có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( CD∥ANcap C cap D is parallel to cap A cap N𝐶𝐷∥𝐴𝑁 và CD=ANcap C cap D equals cap A cap N𝐶𝐷=𝐴𝑁) nên ACDNcap A cap C cap D cap N𝐴𝐶𝐷𝑁 là hình bình hành.
  • Mặt khác, tam giác ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶 vuông tại Acap A𝐴, nên ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐶=90∘.
  • Hình bình hành ACDNcap A cap C cap D cap N𝐴𝐶𝐷𝑁 có một góc vuông ( ∠CAD=90∘angle cap C cap A cap D equals 90 raised to the composed with power∠𝐶𝐴𝐷=90∘ vì ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power∠𝐵𝐴𝐶=90∘ và B,A,Ncap B comma cap A comma cap N𝐵,𝐴,𝑁 thẳng hàng) nên ACDNcap A cap C cap D cap N𝐴𝐶𝐷𝑁 là hình chữ nhật.

• Phân tích: Hình vuông là hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau.
• Lời giải:
• • Ta có Mcap M𝑀 là trung điểm của ACcap A cap C𝐴𝐶, Acap A𝐴 là trung điểm của BNcap B cap N𝐵𝑁.
  • Xét △BNCtriangle cap B cap N cap C△𝐵𝑁𝐶, MAcap M cap A𝑀𝐴 là đường trung tuyến của △BNCtriangle cap B cap N cap C△𝐵𝑁𝐶, Mcap M𝑀 là trung điểm ACcap A cap C𝐴𝐶 và Acap A𝐴 là trung điểm BNcap B cap N𝐵𝑁. Vậy MNcap M cap N𝑀𝑁 là đường trung bình của △BNCtriangle cap B cap N cap C△𝐵𝑁𝐶 (sai). MNcap M cap N𝑀𝑁 là đường trung bình của △BNCtriangle cap B cap N cap C△𝐵𝑁𝐶 nếu Mcap M𝑀 là trung điểm BCcap B cap C𝐵𝐶.
  • Ta có Acap A𝐴 là trung điểm BNcap B cap N𝐵𝑁 và Mcap M𝑀 là trung điểm ACcap A cap C𝐴𝐶.
  • Để MNEBcap M cap N cap E cap B𝑀𝑁𝐸𝐵 là hình vuông, trước hết nó phải là hình bình hành.
  • Theo giả thiết, BE∥MNcap B cap E is parallel to cap M cap N𝐵𝐸∥𝑀𝑁, do đó MNEBcap M cap N cap E cap B𝑀𝑁𝐸𝐵 là hình thang.
  • Để hình thang MNEBcap M cap N cap E cap B𝑀𝑁𝐸𝐵 là hình bình hành, ta cần MB∥NEcap M cap B is parallel to cap N cap E𝑀𝐵∥𝑁𝐸.
  • Để MNEBcap M cap N cap E cap B𝑀𝑁𝐸𝐵 là hình vuông, cần có MN⟂MBcap M cap N ⟂ cap M cap B𝑀𝑁⟂𝑀𝐵 và MN=MBcap M cap N equals cap M cap B𝑀𝑁=𝑀𝐵.
  • Theo câu b), tứ giác ACDNcap A cap C cap D cap N𝐴𝐶𝐷𝑁 là hình chữ nhật.
  • Ta có MNcap M cap N𝑀𝑁 là đường trung bình của △BNCtriangle cap B cap N cap C△𝐵𝑁𝐶. Suy ra MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C𝑀𝑁∥𝐵𝐶 và MN=12BCcap M cap N equals one-half cap B cap C𝑀𝑁=12𝐵𝐶.
  • Để MN⟂MBcap M cap N ⟂ cap M cap B𝑀𝑁⟂𝑀𝐵, ta cần BC⟂BMcap B cap C ⟂ cap B cap M𝐵𝐶⟂𝐵𝑀.
  • BMcap B cap M𝐵𝑀 là đường trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶 (vuông tại Acap A𝐴). Để BMcap B cap M𝐵𝑀 cũng là đường cao, △ABCtriangle cap A cap B cap C△𝐴𝐵𝐶 phải cân tại Bcap B𝐵.
  • Kết hợp
    Đúng(1)