Câu a) x² – 3x + 20 = 6√(x + 7)

1. Phân tích bài toán:
Đây là một phương trình vô tỉ chứa căn thức. Ta nhận thấy vế trái là một biểu thức bậc hai và vế phải chứa căn bậc hai. Một phương pháp hiệu quả cho dạng này là biến đổi phương trình về dạng tổng của các bình phương bằng 0, tức là A² + B² = 0, khi đó ta sẽ có A = 0 và B = 0.

2. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7

3. Biến đổi phương trình:
Ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức (bình phương của một tổng/hiệu).
Phương trình đã cho: x² – 3x + 20 = 6√(x + 7)
⇔ x² – 3x + 20 – 6√(x + 7) = 0

Để ý hạng tử 6√(x + 7), ta có thể liên tưởng đến hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b². Ta có 2ab = 6√(x + 7) = 2 * 3 * √(x + 7).
Nếu ta chọn b = 3 và a = √(x + 7), thì ta cần có a² = (√(x + 7))² = x + 7 và b² = 3² = 9.
Vậy ta thử nhóm như sau: (x + 7) – 6√(x + 7) + 9.

Bây giờ ta xem các hạng tử còn lại của phương trình gốc:
Phương trình gốc là: x² – 3x + 20.
Ta đã lấy x + 7 và 9 (tổng là x+16) để nhóm với căn thức.
Vậy các hạng tử còn lại là: (x² – 3x + 20) - (x + 16) = x² - 3x - x + 20 - 16 = x² - 4x + 4.
Thật may mắn, x² - 4x + 4 chính là hằng đẳng thức (x - 2)².

Bây giờ, ta trình bày lại lời giải một cách mạch lạc:
x² – 3x + 20 – 6√(x + 7) = 0
⇔ (x² - 4x + 4) + (x + 7 - 6√(x + 7) + 9) = 0
⇔ (x - 2)² + (√(x + 7) - 3)² = 0

4. Giải phương trình:
Vì (x - 2)² ≥ 0 với mọi x và (√(x + 7) - 3)² ≥ 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ, nên tổng của chúng bằng 0 khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0.
Ta có hệ phương trình:
{ (x - 2)² = 0
{ (√(x + 7) - 3)² = 0

⇔ { x - 2 = 0
{ √(x + 7) - 3 = 0

⇔ { x = 2
{ √(x + 7) = 3

Giải phương trình dưới: √(x + 7) = 3 ⇔ x + 7 = 3² ⇔ x + 7 = 9 ⇔ x = 2.
Cả hai phương trình đều cho cùng một nghiệm là x = 2.

5. Đối chiếu điều kiện và kết luận:
Nghiệm x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ x ≥ -7.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

b) x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0

Phân tích và Lập luận

Đây là một phương trình vô tỉ phức tạp hơn vì chứa hai loại căn thức khác nhau là √(x + 7) và √x. Phương pháp giải thông thường cho dạng này là biến đổi phương trình để có thể bình phương hai vế, nhằm mục đích khử dấu căn. Sau khi bình phương, ta thường sẽ đưa được về một phương trình quen thuộc hơn (như phương trình bậc hai).

Một lưu ý cực kỳ quan trọng khi dùng phương pháp bình phương hai vế là nó có thể làm xuất hiện "nghiệm ngoại lai" (nghiệm của phương trình mới nhưng không phải là nghiệm của phương trình ban đầu). Do đó, sau khi tìm được nghiệm, ta bắt buộc phải thực hiện bước thử lại hoặc đối chiếu chặt chẽ với điều kiện xác định.

Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để các căn thức trong phương trình có nghĩa, các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

• x ≥ 0
• x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7

Kết hợp cả hai điều kiện trên (x ≥ 0 và x ≥ -7), ta lấy điều kiện chặt hơn.

• Vậy, ĐKXĐ của phương trình là: x ≥ 0.

Bước 2: Biến đổi phương trình

Để chuẩn bị cho việc bình phương, ta sẽ chuyển các hạng tử chứa căn sang một vế, các hạng tử còn lại sang vế kia. Điều này giúp việc bình phương trở nên gọn gàng hơn.

• Từ phương trình: x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0
• Chuyển vế: x + 16 = 4√(x + 7) + 3√x

Bước 3: Bình phương hai vế của phương trình

Bây giờ, ta tiến hành bình phương cả hai vế của phương trình x + 16 = 4√(x + 7) + 3√x để loại bỏ dần các dấu căn.

• Vế trái: (x + 16)² = x² + 2 * x * 16 + 16² = x² + 32x + 256
• Vế phải: Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b²
  (4√(x + 7) + 3√x)² = (4√(x + 7))² + 2 * (4√(x + 7)) * (3√x) + (3√x)²
  = 16(x + 7) + 24√((x + 7)x) + 9x
  = 16x + 112 + 24√(x² + 7x) + 9x
  = 25x + 112 + 24√(x² + 7x)
• Phương trình mới sau khi bình phương:
  x² + 32x + 256 = 25x + 112 + 24√(x² + 7x)

Bước 4: Rút gọn và tiếp tục biến đổi

Ta sẽ dồn các hạng tử không chứa căn về một vế để làm xuất hiện dạng phương trình có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ.

• x² + 32x - 25x + 256 - 112 = 24√(x² + 7x)
• x² + 7x + 144 = 24√(x² + 7x)

Đến đây, ta nhận thấy cả hai vế đều có sự xuất hiện của biểu thức x² + 7x. Đây là dấu hiệu tốt để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bước 5: Đặt ẩn phụ

• Đặt t = √(x² + 7x).
• Dựa vào ĐKXĐ x ≥ 0, ta có x² ≥ 0 và 7x ≥ 0, suy ra x² + 7x ≥ 0. Do đó, điều kiện của ẩn phụ là t ≥ 0.
• Từ cách đặt, ta có t² = x² + 7x.

Thay t và t² vào phương trình x² + 7x + 144 = 24√(x² + 7x), ta được:

• t² + 144 = 24t

Bước 6: Giải phương trình theo ẩn phụ t

Ta có một phương trình bậc hai đơn giản theo ẩn t:

• t² - 24t + 144 = 0
  Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ: (a - b)² = a² - 2ab + b².
• (t - 12)² = 0
• t - 12 = 0
• t = 12

Giá trị t = 12 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0, nên ta nhận giá trị này.

Bước 7: Tìm lại x

Bây giờ ta thay t = 12 trở lại vào biểu thức đặt ẩn phụ:

• √(x² + 7x) = 12
  Bình phương hai vế một lần nữa:
• x² + 7x = 12²
• x² + 7x = 144
• x² + 7x - 144 = 0

Đây là phương trình bậc hai theo x. Ta giải bằng công thức nghiệm:

• Hệ số: a = 1, b = 7, c = -144
• Biệt thức Delta: Δ = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * (-144) = 49 + 576 = 625
• √Δ = √625 = 25
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• • x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-7 + 25) / 2 = 18 / 2 = 9
  • x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-7 - 25) / 2 = -32 / 2 = -16

Bước 8: Đối chiếu điều kiện và thử lại

Ta đối chiếu các nghiệm vừa tìm được với ĐKXĐ x ≥ 0:

• x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ)
• x = -16 (không thỏa mãn ĐKXĐ, nên ta loại)

Để chắc chắn, ta thử lại nghiệm x = 9 vào phương trình ban đầu:
x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0
9 - 4√(9 + 7) - 3√9 + 16 = 0
9 - 4√16 - 3 * 3 + 16 = 0
9 - 4 * 4 - 9 + 16 = 0
9 - 16 - 9 + 16 = 0
0 = 0 (Luôn đúng)

Vậy x = 9 chính là nghiệm của phương trình.

Kết luận

Tập nghiệm của phương trình là S = {9}.