chắc bạn chép sai đầu bài ý a rồi , mình sửa lại nhé

Đặt A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

Tổng A có :(100-1):1+1=100(số hạng)

=>A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

A=\(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

(có \(\dfrac{100}{5}=20\) nhóm , mỗi nhóm có 5 số hạng)

A=\(2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

A=\(2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)

A=\(31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)

Sửa đề câu a tí nhé:

Chứng tỏ \(\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)chia hết cho 31

Giải:

Đặt \(S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right).2^{96}\)

\(=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)

\(=31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)\)

\(\Rightarrow S⋮31\)

                                                                          lg

a)C=3+3^2+3^3+...+3^100

=(3+3^2+3^3+3^4)+...+(3^96+3^97+3^98+3^99+3^100)

=(3.1+3.3+3.3^2+3.3^3)+...+(3^96.1+3^96.3+3^96.3^2+3^96.3^3)

=3.(1+3+3^2+3^3)+...+3^96.(1+3+3^2+3^3)

=3.40+...+3^96.40

=40.(3+...+3^96) chia hết cho 40

=>C chia hết cho 40

Vậy C chia hết cho 40

phần b làm tương tự

a, sai đề 

b,Ta có :

C=2+2^2+2^3+2^4+2^5...+2^96+2^97+2^98+2^99+2^100

   = (2+2^2+2^3+2^4+2^5)+...+(2^96+2^97+2^98+2^99+2^100)

  = (2.1+2.2+2.2^2+2.2^3+2.2^4)+...+(2^96.1+2^96.2+2^96.2^2+2^96.2^3+2^96.2^4)

  =2. (1+2+2^2+2^3+2^4) +...+2^96.(1+2+2^2+2^3+2^4)

  =2.31+...+2^96.31

  =31. (2+...+2^96) chia hết cho 31

=>C chia hết cho 31

vào câu hỏi tương tự mà tham khảo có 1 bài giống thế nhưng khác số và khác C là A

Ta có:

\(B=\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+...+\left(50+51\right)\)

\(=101.50\)

Để chứng minh \(A\) chia hết cho \(B\) ta chứng minh \(A\) chia hết cho 50 và 101

Ta có:

\(A=\left(13+1003\right)+\left(23+993\right)+...+\left(503+513\right)\)

\(=\left(1+100\right).\left(12+100+1002\right)+\left(2+99\right).\left(22+2.99+992\right)+...+\left(50+51\right).\left(502+50.51+512\right)\)

\(=101.\left(12+100+1002+22+2.99+992+...+502+50.51+512\right)\)

chia hết cho 101 ( 1 )

Lại có:

\(A=\left(13+993\right)+\left(23+983\right)+...+\left(503+1003\right)\)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra: A chia hết cho 101 và 50 nên A chia hết cho B

tính luôn kết quả cho dễ CM

Ta có:

(n-1)n(n+1)=n³ - n

\(\Rightarrow\) n³ = n+(n-1)n(n+1)

áp dụng vào A ta được:

\(A=1+2+1.2.3+3+2.3.4+......+100+99.100.101\)

\(=\left(1+2+3+....+100\right)+\left(1.2.3+2.3.4+....+99.100.101\right)\)

\(=5050+101989800=101994850\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(B=1+2+3+....+100\)

\(=101+101+101+.....+101\) (50 số hạng)

\(=101.50=5050\left(2\right)\)

từ (1) và (2) ta có:

\(101994850:5050=20197\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

C=(3+3^2+3^3+3^4)+...+(3^997+3^998+3^999+3^1000)=3.(1+3+3^2+3^3)+...+3^997.(1+3+3^2+3^3)=3,40+3^5.40+....+3^997.40

  =40.(3+3^5+....+3^997) chia hết cho 40 (đpcm)