Cho a,b,c ∈Z thoả mãn a6 + b6 = c6. Chứng minh rằng abc chia hết cho 210.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
2 tháng 7 2023
a: a^3-a=a(a^2-1)
=a(a-1)(a+1)
Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp
nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6
=>a^3-a chia hết cho 6
NC
2
2 tháng 2 2017
a3+b3+c3=(a+b+c)3-3(a+b)(a+c)(b+c)
Vì a3+b3+c3 \(⋮\)6 nên [(a+b+c)3-3(a+b)(a+c)(b+c)] \(⋮\)6
Mà trong 3(a+b)(a+c)(b+c) luôn có ít nhất 1 số chẵn ( xét các trường hợp a,b,c lần lượt là : lẻ, lẻ, lẻ; chẵn,chẵn, chẵn; chẵn, lẻ, lẻ; chẵn, chẵn, lẻ;chẵn lẻ chẵn; lẻ chẵn lẻ; lẻ chẵn chẵn; lẻ lẻ chẵn..[tìm thêm ])
nên 3(a+b)(a+c)(b+c)\(⋮\)6
=> (a+b+c)3 phải chia hết cho 6
Lại có a,b,c là các số tự nhiên nên suy ra a+b+c phải chia hết cho 6.
9 tháng 9 2019
a3+b3+c3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ac)+3abc
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b2+c^2−ab−bc−ac)+3abc
=(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc=(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc
=(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc=(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc
*Nếu a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3
*Nếu a3+b3+c3⋮3⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3
⇒a+b+c⋮3a3+b3+c3⋮3
⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3
⇒a+b+c⋮3
=>đpcm
Mk nhác ghi mũ lắm thông cảm nha Vd; a2=a^2
Nếu \(a = 0\) hoặc \(b = 0\) hoặc \(c = 0\), thì \(a b c = 0\).
Số 0 chia hết cho mọi số nguyên khác 0, do đó \(a b c\) chia hết cho 210.
Phương trình đã cho là \(a^{6} + b^{6} = c^{6}\).
Theo Định lý cuối cùng của Fermat, không tồn tại các số nguyên dương \(x , y , z\) sao cho \(x^{n} + y^{n} = z^{n}\) với \(n > 2\).
Áp dụng với \(n = 6\), ta có phương trình \(a^{6} + b^{6} = c^{6}\) không có nghiệm nguyên dương.
Vì \(a , b , c\) khác 0, ta có thể xét \(\mid a \mid , \mid b \mid , \mid c \mid\) là các số nguyên dương. Do đó, phương trình \(\mid a \mid^{6} + \mid b \mid^{6} = \mid c \mid^{6}\) không có nghiệm nguyên dương.
Điều này có nghĩa là không có số nguyên \(a , b , c\) nào khác 0 mà thỏa mãn \(a^{6} + b^{6} = c^{6}\).
Kết luận:
Từ hai trường hợp trên, mọi nghiệm nguyên \(\left(\right. a , b , c \left.\right)\) của phương trình \(a^{6} + b^{6} = c^{6}\) đều phải có ít nhất một biến bằng 0. Do đó, \(a b c = 0\).
Vì \(0\) chia hết cho \(210\), nên \(a b c\) luôn chia hết cho 210.