\(3,1+5^2+5^4+...+5^{26}\)

\(=\left(1+5^2\right)+\left(5^4+5^6\right)+...+\left(5^{24}+5^{26}\right)\)

\(=\left(1+5^2\right)+5^4\left(1+5^2\right)+...+5^{24}\left(1+5^2\right)\)

\(=26+5^4.26+...+5^{24}.26\)

\(=26\left(5^4+...+5^{24}\right)\)

Vì  \(26⋮26\)

\(\Rightarrow26\left(5^4+...+5^{24}\right)⋮26\)

\(\Rightarrow1+5^2+5^4+...+5^{26}⋮26\)

\(4,1+2^2+2^4+...+2^{100}\)

\(=\left(1+2^2+2^4\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=\left(1+2^2+2^4\right)+....+2^{98}\left(1+2^2+2^4\right)\)

\(=21+2^6.21...+2^{98}.21\)

\(=21\left(2^6+...+2^{98}\right)\)

Có : \(21\left(2^6+...+2^{98}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow1+2^2+2^4+...+2^{100}⋮21\)

P.s cái đề b/s thêm n nguyên

Xét \(n\left(n^4-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right).\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Do (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 40

Lại có n lẻ => (n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8

=>5(n-1)n(n+1) chia hết cho 40

\(\Rightarrow n\left(n^4-1\right)⋮40\Leftrightarrow n^4-1⋮40\)(Vì n lẻ, n không chia hết cho 5)

DO N KHÔNG CHIA HẾT CHO 5 MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 5 DƯ 0 , 1 , 4

=> n^2 CHIA 5 DƯ 1 HOẶC 4

=> n^4 CHIA 5 DƯ 1 => n^4 - 1 chia hết cho 5

DO N LÀ SỐ LẺ MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 8 DƯ 0,1 HOẶC 4

=> n^2 chia 5 dư 1 hoặc 4

=> n^4 chia 8 dư 1

=> n^4 chia hết cho 8

Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau

=> n^4 - 1 chia hết cho 40

Cách này cũng đúng nhưng có cách khác nhanh hơn

S = ( 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 ) + .....

Gộp 4 số liên tiếp lại rồi C/M

Chúc học tốt

mong các bạn cho mình câu trả lời sớm nhất.

a) 10^50 có dạng 100...0

=> 10^50 + 5 có dạng 100...5

=> tổng các chữ số của nó là : 5 + 1 = 6 chia hết cho 3 ( đpcm )

mà số đó cũng có tận cùng bằng 5 => số đó chia hết cho 5 ( đpcm )

từ (1) và (2)

=> S ⋮5

mình nghĩ hơi thừa chỉ cần từ (1) là đủ rồi

nên đánh (2) vào"=>S⋮5"

Để khi chứng tỏ thì nói "từ (1) và (2) => S ⋮ 65"

1) Ở (1) vô lý nha bạn, tổng S đều có số hạng 5 là sao? số hạng có tận cùng là 5 chứ.

Ok, mik nhận xét thế thôi nhé. Cách trình bày của bạn khá chặt chẽ. Mà bạn viết vào vở thì sử dụng kí hiệu toán học ý, trong toán đừng viết chữ nhiều quá. ( VD: chia hết cho)

\(7^{40}-1\\ =\left(7^4\right)^{10}-1\\ =2401^{10}-1\\ =...1-1\\ =...0⋮5\)

Tận cùng: 7-9-3-1-7-9-3-...

Suy ra: cứ 4 lần nhân thì số 1 được lặp lại 

Suy ra: 7^40 có tận cùng là 1

Suy ra 7^40-1có tận cùng là 0

Vì các số có tận cùng bằng 0 và 5 chia hết cho 5 nên 7^40-1chia hết cho 5