Cho F = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + .... + 1/100^2. Chứng minh 7/15 < F < 4/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
10 tháng 4
CMR A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2
A = 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17
Vì 1/6 < 1/7 < 1/8 < 1/9 < 1/5 và 1/10 < 1/11 < 1/12 < 1/13 < 1/14 <1/15 < 1/16 < 1/17 < 1/8 nên:
A = (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14+ 1/15 + 1/16 + 1/17)
A < (1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8+1/8 + 1/8 + 1/8)
A < 1 + 1
A < 2
Vậy: A < 2 (đpcm)
22 tháng 6 2017
a/(Sửa đề bài) A= 1/2 + 2/22 + 3/23 + 4/24 +..+ 100/2100 => 1/2A = 1/22 + 2/23 + 3/24 +..+ 100/2101 => A - 1/2A = 1/2 + 2/22 +..+ 100/2100 - 1/22 - 2/23 -..- 100/2101 => 1/2A = 1/2 + 1/22 + 1/23 +..+ 1/2100 - 100/2101 Gọi riêng cụm (1/2 + 1/22 +..+ 1/2100) là B => 2B = 1 + 1/2 + 1/22 +..+ 1/299 => 2B-B = B = 1+ 1/2 +1/22 +..+ 1/299 - 1/2 - 1/22 -..- 1/2100 = 1 - 1/2100 => 1/2A = 1 - 1/2100 - 100/2101 Có 1/2A < 1 => A < 2 =>ĐPCM b/ => 1/3C = 1/32 + 2/33 + 3/34 +..+ 100/3101 => C - 1/3C = 2/3C = 1/3 + 2/32 +..+ 100/3100 - 1/32 - 2/33 -..- 100/3101 = 1/3 + 1/32 + 1/33 +..+ 1/3100 - 100/3101 Gọi riêng cụm (1/3 + 1/32 +..+ 1/3100) là D => 3D = 1 + 1/3 +..+ 1/399 => 3D - D = 2D = 1 + 1/3 +..+1/399 - 1/3 -1/32 -..- 1/3100 = 1 - 1/3100 => 2/3C *2 = 4/3C = 1 - 1/3100 - 200/3101 Có 4/3C < 1 => C<3/4 => ĐPCM Tạm thời thế đã, giải tiếp đc con nào mình sẽ gửi sau :)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 8 2020
a) Ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A-A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2^{100}}\)
8 tháng 6 2016
Có thể mình hơi phũ tí nhưng mình bảo đảm một thế kỉ sau sẽ không ai ngồi giải hết đống bài này cho bạn đâu, hỏi từng câu thôi
P/s: chắc bạn đánh mỏi tay lắm
F = \(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + \(\frac{1}{4^2}\) + ... + \(\frac{1}{100^2}\)
\(\frac12-\frac13\) = \(\frac{1}{2.3}\) < \(\frac{1}{2^2}\) < \(\frac{1}{1.2}\) = \(\frac11\) - \(\frac12\)
\(\) \(\frac13-\frac14\) = \(\frac{1}{3.4}\) < \(\frac{1}{3^2}\) < \(\frac{1}{2.3}\) = \(\frac12-\frac13\)
..............................................................
\(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\) = \(\frac{1}{100.101}\) < \(\frac{1}{100^2}\) < \(\frac{1}{99.100}\) = \(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\frac12-\frac{1}{101}\) < \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\)+ \(\frac{1}{4^2}\)+ ... + \(\frac{1}{100^2}\) < \(\frac11\) - \(\frac{1}{100}\) < 1 < \(\frac43\)
\(\frac12\) - \(\frac{1}{101}\) < F < \(\frac34\)
\(\frac12-\frac{1}{30}\) < \(\frac12\) - \(\frac{1}{101}\) < F < \(\frac34\)
\(\frac{7}{15}\) < F < \(\frac34\)
F = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/100^2 Bất đẳng thức 2: F < 4/3 Ta có:
F = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/100^2
< 1/12 + 1/23 + 1/34 + ... + 1/99100
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/99 - 1/100)
= 1 - 1/100
< 1 + 1/3
= 4/3 Vậy 7/15 < F < 4/3.