tìm tất cả các số nguyên dương n để 8n+19/n+7 là lập phương của một số hữu tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LC
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n+26 và n-11 đều là lập phương của 2 số lập phương nào đó
0
22 tháng 6 2017
Đặt n-2= a^3; n-5=b^3 (a,b thuộc Z)
Ta có
\(a^3-b^3=\left(n-2\right)-\left(n-5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=3\)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2\ge0\)nên
TA CÓ BẢNG :
| a-b | a2+ab+b2 | a | b | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | |||
| 3 | 1 | |||
4 tháng 6 2016
Giả sử có số nguyên dương n sao cho n+26=X3 và n-11=Y3
với X,Y là 2 số nguyên dương (X>Y)
khi đó ta được:x3-y3=37 <=>(x-y)(x2+xy+y2)=37.
ta thấy 0<x-y,x2+xy+y2, nên ta có:\(\begin{cases}x-y=1\left(1\right)\\x^2+xy+y^2=37\left(2\right)\end{cases}\)
Thay x=y+1 từ (1) vào (2) ta được y2-y-12=0, từ đó y=3 và n=38
vậy n=38 là giá trị cần tìm
9 tháng 9 2020
Đặt \(3n+6=x^3,n+1=y^3\)vì \(n\inℕ^∗\)nên \(x>1,y>3\)và x,y nguyên dương
\(\left(3n+6\right)-\left(n+1\right)=x^3-y^3\)
\(\Leftrightarrow2n+5=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
Vì 2n+5 là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước là 1 và 2n+5 mà (x-y) và (x2+xy+y2) cũng là 2 ước của 2n-5 nên:
\(\orbr{\begin{cases}x-y=1,x^2+xy+y^2=2n+5\\x^2+xy+y^2=1,x-y=2n+5\end{cases}}\)mà \(x>1,y>3\)nên vế dưới không thể xảy ra.
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=y+1\\x^2+xy+y^2=2n+5\end{cases}}\)thay vế trên vào vế dưới\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=2n+5\)
\(\Rightarrow3y^2+3y+1=2n+5\)
Vậy ta xét \(\hept{\begin{cases}3y^2+3y+1=2n+5\\y^3=n+1\Rightarrow2y^3=2n+2\end{cases}}\)trừ 2 biểu thức vế theo vế:
\(\Rightarrow-2y^3+3y^2+3y+1=3\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-2\right)\left(1-2y\right)=0\)
Vì nguyên dương nên nhận y=2--->n=7
DA
20 tháng 2 2020
Bài 2:
a) Để B là phân số thì n -3 \(\ne\)0 => n\(\ne\)3
b) Để B có giá trị là số nguyên thì n+4 \(⋮\)n-3
\(\frac{n+4}{n-3}\)= \(\frac{n-3+7}{n-3}\)= \(\frac{7}{n-3}\)Vì n+4 \(⋮\)n-3 nên 7 \(⋮\)n-3
=> n-3 \(\in\)Ư(7) ={ 1;7; -1; -7}
=> n\(\in\){ 4; 10; 2; -4}
Vậy...
c) Bn thay vào r tính ra
Đây là cách giải đơn giản hơn để tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho biểu thức \(\frac{8 n + 19}{n + 7}\) là lập phương của một số hữu tỉ.
Bước 1: Đặt biểu thức là lập phương
Giả sử \(\frac{8 n + 19}{n + 7} = k^{3}\), với \(k\) là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là:
\(\frac{8 n + 19}{n + 7} = k^{3}\)
Bước 2: Giải phương trình
Ta sẽ nhân chéo để bỏ dấu phân số:
\(8 n + 19 = k^{3} \left(\right. n + 7 \left.\right)\) \(8 n + 19 = k^{3} n + 7 k^{3}\)
Đưa tất cả các hạng tử chứa \(n\) về một phía:
\(8 n - k^{3} n = 7 k^{3} - 19\) \(n \left(\right. 8 - k^{3} \left.\right) = 7 k^{3} - 19\)
Vậy ta có phương trình:
\(n = \frac{7 k^{3} - 19}{8 - k^{3}}\)
Bước 3: Tìm giá trị \(k\) sao cho \(n\) là số nguyên dương
Để \(n\) là một số nguyên dương, \(\frac{7 k^{3} - 19}{8 - k^{3}}\) phải là một số nguyên. Vì vậy, \(8 - k^{3}\) phải là một ước của \(7 k^{3} - 19\).
Bước 4: Thử các giá trị của \(k\)
Bây giờ ta sẽ thử các giá trị hữu tỉ của \(k\) để tìm các giá trị của \(n\) thỏa mãn.
Trường hợp 1: \(k = 1\)
Khi \(k = 1\):
\(n = \frac{7 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. 1 \left.\right)^{3}} = \frac{7 - 19}{8 - 1} = \frac{- 12}{7}\)
Đây không phải là một số nguyên.
Trường hợp 2: \(k = 2\)
Khi \(k = 2\):
\(n = \frac{7 \left(\right. 2 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. 2 \left.\right)^{3}} = \frac{7 \times 8 - 19}{8 - 8} = \frac{56 - 19}{0}\)
Đây là phép chia cho 0, không hợp lệ.
Trường hợp 3: \(k = - 1\)
Khi \(k = - 1\):
\(n = \frac{7 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - 19}{8 - \left(\right. - 1 \left.\right)^{3}} = \frac{7 \left(\right. - 1 \left.\right) - 19}{8 + 1} = \frac{- 7 - 19}{9} = \frac{- 26}{9}\)
Đây không phải là một số nguyên.
Kết luận:
Sau khi thử các giá trị của \(k\), không tìm thấy giá trị \(k\) nào sao cho \(n\) là số nguyên dương. Vậy không tồn tại số nguyên dương \(n\) sao cho \(\frac{8 n + 19}{n + 7}\) là lập phương của một số hữu tỉ.