Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I
Xét (O) có
IM,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc AOM; IO là phân giác của góc MIA
Xét (O') có
IA,IN là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IN; O'I là phân giác của góc AO'N; IO' là phân giác của góc AIN
Ta có: IM=IA
IA=IN
Do đó: IM=IN
=>I là trung điểm của MN
Xét ΔAMN có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\frac{MN}{2}\)
Do đó: ΔAMN vuông tại A
=>\(\hat{MAN}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BE tại M và \(\hat{EMA}=90^0\)
Xét (O') có
ΔANC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔANC vuông tại N
=>AN⊥EC tại N và \(\hat{ANE}=90^0\)
Xét tứ giác EMAN có \(\hat{EMA}=\hat{ENA}=\hat{MAN}=90^0\)
nên EMAN là hình chữ nhật
=>\(\hat{MEN}=90^0\)
=>\(\hat{BEC}=90^0\)
b: Ta có: EMAN là hình chữ nhật
=>EA cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của MN
nên I là trung điểm của EA
=>E,I,A thẳng hàng
Xét ΔEAB vuông tại A có AM là đường cao
nên \(EM\cdot EB=EA^2\left(1\right)\)
Xét ΔEAC vuông tại A có AN là đường cao
nên \(EN\cdot EC=EA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(EM\cdot EB=EN\cdot EC\)
c: AB=2AO=18(cm)
AC=2AO'=2*4=8(cm)
Xét ΔEBC vuông tại E có EA là đường cao
nên \(EA^2=AB\cdot AC=18\cdot8=144\)
=>EA=12(cm)
EMAN là hình chữ nhật
=>EA=MN
=>MN=12(cm)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBCD có
O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC
=>OH là đường trung bình của ΔBCD
=>CD=2OH
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
c: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}\)
Ta có: OH+HD=OD
=>\(HD=R-\frac{R}{3}=\frac23R\)
Ta có: HD+HE=DE
=>\(HE=2R-\frac23R=\frac43R\)
ΔOHB vuông tại H
=>\(HB^2+HO^2=BO^2\)
=>\(HB^2=R^2-\left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac89R^2\)
=>\(HB=\frac{2\sqrt2}{3}R\)
H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot HB=2\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R\)
Xét ΔEBC có EH là đường cao
nên \(S_{EBC}=\frac12\cdot EH\cdot BC=\frac12\cdot\frac43R\cdot\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{8\sqrt2}{9}\cdot R^2\)
Tứ gaisc APOQ có tổng hai góc đối bằng 180o.PM //AQ suy ra \widehat{PMN} = \widehat{KAN} (so le trong)\widehat{PMN} = \widehat{APK} (cùng chắn cung PN)Suy ra \widehat{KAN} = \widehat{APK}Tam giác KAN và tam giác KPA có chung góc K\widehat{KAN} = \widehat{APK} nên hai tam giác đồng dạng (g.g)\frac{KA}{KP} = \frac{KN}{KA} => KA2 = KN.KP