CM với mọi số nguyên n thì B=10^n-18n-1 chia hết cho 27
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KV
4
13 tháng 3 2016
27 =3.9 => chứng minh 10n+18n1 chia hết cho 3 và 9
vì 9 chia hết cho 3 nên chỉ cần CM chia hết cho 9
có 10n+18n-1 =1000..000 -1 +18n ( có n số 0 )
= 99999...9999+18n ( có n-1 số 9)
999..9999 chia hết cho 9 và 18n có 18 chia hết cho 9 => 10n+18n-1 chia hết cho 9 => chia hết cho 3 => chia hết cho 27
13 tháng 3 2016
có n số 0 và số 1 -9 =n số 9
mà chia hết cho 9 chưa chắc chia hết cho 27 như 36 chẳng hạn
LM
3
BN
21 tháng 4 2016
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
NN
21 tháng 4 2016
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
19 tháng 11 2018
a) Đề sai, phải là 384 mới đúng
Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)
\(A=\left(n^4-n^2\right)-\left(9n^2-9\right)\)
\(A=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)
\(A=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Vì n lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )
Khi đó A = 2k( 2k + 2)(2k - 2)( 2k + 4)
A = 16k( k + 1)( k - 1)( k + 2)
Ta thấy k - 1; k; k + 1; k + 2 là những số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên tiếp và một số chia hết cho 3
=> k( k + 1)( k - 1)( k + 2) chia hết cho 3 và 8
=> k( k + 1)( k - 1)( k + 2) chia hết cho 24 ( vì ƯCLN(3;8)=1)
=> A chia hết cho 16.24 = 384 ( Đpcm )
SA
19 tháng 11 2018
Đăng từng câu thôi, không giới hạn số lượng câu hỏi mà :)
b) Ta có: 18n + 9 ⋮ 9; 10n không chia hết cho 9
=> 10n + 18n + 9 không chia hết cho 27
J
1
12 tháng 11 2015
C = 10n + 18n -28
+với n =1 => C =10+18 -28 =0 chia hết cho 9
+ Giả sử C chia hết cho 9 với n-1
=> C =10n-1 + 18(n-1) -28 chia hết cho 9
+ Ta chứng minh C chia hết cho 9 đúng với n
C= [10n +18n -28 = 10.10n-1 +18(n -1).10 -280 ] +(162n +432)
=10[10n-1 + 18(n-1) -28 ] +9(18n+48) chia hết cho 9
=> dpcm
SS
1
6 tháng 4 2016
bài này áp dụng phương pháp quy nạp 2 lần.
.................................
chọn n=1 => 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng)
giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10^k+18k-1 chia hết cho 27.
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27.
Ta có 10^(k+1)+18(k+1)-1= 10*10^k+18k+18-1
= (10^k+18k-1)+9*10^k+18
= (10^k+18k-1)+9(10^k+2)
ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27 => 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10^k+2) chia hết cho 27.
Chứng minh 9(10^k+2) chia hết cho 27.
chọn k=1 => 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng)
giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10^m+2) chia hết cho 27.
ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27.
thật vậy ta có: 9(10^(m+1)+2)= 9( 10*10^m+2)= 9( 10^m+9*10^m+2)
= 9(10^m+2) +81*10^m
ta có 9(10^m+2) chia hết cho 27 và 81*10^m chia hết cho 27 => 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27
=>9(10^k+2) chia hết cho 27
=>10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27
=>10^n+18n-1 chia hết cho 27=> đpcm.
NT
2
30 tháng 3 2016
Ta có: A=10^n+18n-1
A=10^n-1+18n
A=99...9+18n
n c/số 9
A=11...1.9+18n
n c/số 1
Ta đã biết mọi số tự nhiên đèu có thể viết dưới dạng tổng các chữ số của số đó và một số chia hết cho 9
=>11...1=n+9q (q thuộc N)
n c/số 1
Ta có:A=(n+9q).9+18n
A= 9n+81q+18n
A=27n+81q
A=27(n+3q)
Vì 27(n+3q) chia hết cho 27 với mọi n thuộc N
=>A chia hết cho 27 với mọi n thuộc N
Bài toán được chứng minh
31 tháng 3 2017
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
Để chứng minh \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) chia hết cho 27 với mọi số nguyên \(n\), ta sẽ sử dụng quy tắc chứng minh tính chia hết của một biểu thức đối với một số nhất định. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng:
\(B = 10^{n} - 18 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\)
Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của \(n\)
Trước tiên, ta kiểm tra với các giá trị nhỏ của \(n\) để xem biểu thức có chia hết cho 27 hay không.
Khi \(n = 0\):
\(B = 10^{0} - 18 \times 0 - 1 = 1 - 1 = 0.\)
Dễ dàng nhận thấy rằng \(B = 0\), rõ ràng \(0\) chia hết cho 27.
Khi \(n = 1\):
\(B = 10^{1} - 18 \times 1 - 1 = 10 - 18 - 1 = - 9.\)
Vì \(- 9 \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), ta thấy rằng \(B \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), do đó, \(B\) không chia hết cho 27.
Khi \(n = 2\):
\(B = 10^{2} - 18 \times 2 - 1 = 100 - 36 - 1 = 63.\)
Vì \(63 \div 27 = 2\), nên \(B = 63\) chia hết cho 27.
Bước 2: Chứng minh tổng quát
Để chứng minh rằng \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) chia hết cho 27 với mọi số nguyên \(n\), chúng ta sẽ chứng minh thông qua quy tắc quy nạp.
Bước 2.1: Định lý quy nạp
Giả sử với một giá trị \(n = k\), ta có giả thiết rằng \(B_{k} = 10^{k} - 18 k - 1\) chia hết cho 27, tức là:
\(10^{k} - 18 k - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right) .\)
Điều này có nghĩa là:
\(10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m .\)
Bước 2.2: Chứng minh cho \(n = k + 1\)
Ta cần chứng minh rằng với \(n = k + 1\), ta có \(B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1\) chia hết cho 27. Ta có:
\(B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1 = 10 \times 10^{k} - 18 k - 18 - 1.\)
Ta có thể viết lại:
\(B_{k + 1} = 10 \times 10^{k} - 18 k - 19.\)
Vì theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m ,\)
nên ta thay vào:
\(B_{k + 1} = 10 \left(\right. 10^{k} - 18 k - 1 \left.\right) + 10 - 19 = 10 \times 27 m + 10 - 19 = 270 m - 9.\)
Rõ ràng \(270 m - 9\) chia hết cho 27, vì \(270 m - 9 = 27 \left(\right. 10 m - 1 \left.\right)\), mà 27 chia hết cho 27.
Kết luận
Vậy ta đã chứng minh bằng quy nạp rằng đối với mọi số nguyên \(n\), \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) luôn chia hết cho 27.