\(9n^2+9n-8=(3n)^2+6n+1+3n-9 = (3n+1)^2+(3n-9) để là số chính phương thì 3n-9=0=> n=3 \)

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

Ta đặt :

\(\hept{\begin{cases}4n+5=a^2\\9n+7=b^2\end{cases}}\)( a,b là các số tự nhiên )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}36n+45=9a^2\\36n+28=4b^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(36n+45\right)-\left(36n+28\right)=9a^2-4b^2\)

\(\Rightarrow17=\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)\)

Vì a, b là các số tự nhiên nên 3a-2b , 3a+3b là cá số nguyên và 3a-2b <= 3a+2b nên ta có 

\(\left(3a-2b;3a+2b\right)\in\left\{\left(1;17\right);\left(-17;-1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow6a\in\left\{18;-18\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{3;-3\right\}\)

Mà a là số tự nhiên nên a=3

\(\Rightarrow4n+5=a^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow4n=4\)

\(\Rightarrow n=1\)

        Vậy n=1

\(n^2+n+6\)là số chính phương nên \(n^2+n+6=a^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+4n+24=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n\right)^2+2.2n+1+23=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2+23=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2n+1\right)\left(2a-2n-1\right)=23\)

Mà \(a,n\inℕ\)và \(\left(2a+2n+1\right)>\left(2a-2n-1\right)\)nên

\(\hept{\begin{cases}2a+2n+1=23\\2a-2n-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a+2n=22\\2a-2n=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+n=11\\a-n=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\n=5\end{cases}}\)

Vậy n = 5

 Đặt A = m² + n² + 2.m.n +m + 3n + 2 ta có :

A > m² +n² + 2.m.n =( m+n )² ; 

và A<m² +n² + 4 +2.m.n + 4.m+ 4n = ( m+n+ 2 )² 

Vậy A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên : 

A chính phương <=> A = ( m + n + 1 )² 

                            <=> A = m² + n² + 2.m.n + 2.m + 2.n + 1 <=> m = n + 1 

Vậy n \(\in\)N tùy ý và m = n+ 1 

-Vì 4n+5, 9n+7 đều là các số chính phương nên đặt \(4n+5=a^2;9n+7=b^2\)

\(\Rightarrow9\left(4n+5\right)=9a^2;4\left(9n+7\right)=4b^2\)

\(\Rightarrow36n+45=9a^2;36n+28=4b^2\)

\(\Rightarrow9a^2-4b^2=36n+45-\left(36n+28\right)=17\)

\(\Rightarrow\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)=1.17\)

-Vì \(3a-2b< 3a+2b\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-2b=1\\3a+2b=17\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.\)

-Vậy \(n=1\) thì 4n+5 và 9n+7 là các số chính phương.