Cho các số nguyên dương x và y thoả mãn xy + 1 chia hết cho 24. CMR: x + y cũng chia hết cho 24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
5 tháng 6 2021
\(\left(xy-1\right)|\left(x^3+x\right)\Rightarrow\left(xy-1\right)|x\left(x^2+1\right)\)mà \(\left(x,xy-1\right)=1\)nên \(\left(xy-1\right)|\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)|\left(x^2+1+xy-1\right)\Leftrightarrow\left(xy-1\right)|\left(x+y\right)\).
Đặt \(x+y=z\left(xy-1\right)\Leftrightarrow x+y+z=xyz\).
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)thì \(xyz=x+y+z\le3x\Leftrightarrow3\ge yz\ge z^2\Rightarrow z=1\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\).
Thử từng trường hợp của \(y\)chỉ thấy \(y=2\)có nghiệm \(x=3\)thỏa mãn.
Vậy phương trình ban đầu có các nghiệm là: \(\left(1,3\right),\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(2,1\right),\left(3,2\right),\left(3,1\right)\).
13 tháng 8 2019
Giả sử x;y⋮̸ 3
⇒x^2;y^2 chia 3 dư 1
⇒z^2=x^2+y^2 chia 3 dư 2 ( vô lý vì z^2 là số chính phương )
Vậy x⋮3y⋮3⇒xy⋮3
Chứng minh tương tự xy⋮4
(3;4)=1 => x.y chia hết cho 12
ML
Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a^2+ b^2 +c^2 chia hết cho 10 cmr abc cũng chia hết cho 10
0
PT
2
4 tháng 6 2019
\(x^2-2⋮xy+2\)<=> \(y\left(x^2-2\right)⋮xy+2\)
<=> x(xy+2)-2y-2x\(⋮\)xy +2
<=> 2(x+y)\(⋮\)xy+2
=> 2(x+y)\(\ge\)xy+2
=> y(2-x)\(\ge\)2-2x
Xét x=1 rồi tìm y
Xét x=2 => KTM
Xét x≥2 ta có \(y\le\frac{2x-2}{x-2}=\frac{2\left(x-2\right)+2}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}\le4\)=>\(1\le y\le4\)
Xét các trường hợp của y để tìm x
Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))
2 tháng 12 2021
1)1) Do xyxy bình đẳng nên có thể giả sử xx ≤≤ yy
Từ x+y+1⋮xyx+y+1⋮xy và x+y+1,xy∈Nx+y+1,xy∈N
⇒x+y+1≥xy⇒x+y+1≥xy
⇔xy−x−y≤1⇔xy-x-y≤1
⇔xy−x−y+1≤2⇔xy-x-y+1≤2
⇔x(y−1)−(y−1)≤2⇔x(y-1)-(y-1)≤2
⇔(x−1)(y−1)≤2 (1)⇔(x-1)(y-1)≤2 (1)
Nên x≥3⇒y≥3⇒x−1≥2;y−1≥2x≥3⇒y≥3⇒x-1≥2;y-1≥2
⇒(x−1)(y−1)≥4(mt)⇒(x-1)(y-1)≥4(mt)
Vậy x<3x<3, mà x∈N⋅⇒x∈{1;2}x∈N⋅⇒x∈{1;2}
+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒ [y=1y=2[y=1y=2
+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y
⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3(t/m)(t/m)
Vậy (x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}(x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}
2)2x+y−1⋮xy (1)2)2x+y-1⋮xy (1)
Do x,yx,y là số nguyên dương ⇒2x+y−1,xy∈N⋅⇒2x+y-1,xy∈N⋅
Từ (1)⇒2x+y−1≥xy(1)⇒2x+y-1≥xy
⇔xy−2xy≤−1⇔xy-2xy≤-1
⇔x(y−2)+y+2≤1⇔x(y-2)+y+2≤1
⇔x(y−2)−(y−2)≤1⇔x(y-2)-(y-2)≤1
⇔(x−1)(y−2)≤1 (2)⇔(x-1)(y-2)≤1 (2)
+)+) Xét x=1⇒2+y−1⋮yx=1⇒2+y-1⋮y
⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1
+)+) Xét x=2⇒y+3⋮2yx=2⇒y+3⋮2y
⇒y+3⋮y⇔3⋮y⇒y+3⋮y⇔3⋮y
⇒⇒ [y=1(t/m)y=3(t/m)[y=1(t/m)y=3(t/m)
+)+) Xét x≥3⇒x−1≥2x≥3⇒x-1≥2
Nếu y≥3⇒y−2≥1y≥3⇒y-2≥1
⇒(x−1)(y−2)≥2⇒(x-1)(y-2)≥2 mt với (2)(2)
Suy ra y<3=>y=1y<3=>y=1 hay y=2y=2
+)y=1+)y=1 ta có:
2x⋮x2x⋮x luôn đúng
+)y=2⇒2x+1⋮2+)y=2⇒2x+1⋮2
⇔1⋮2x⇒1≥2x⇔1⋮2x⇒1≥2x Vô lý
Vậy (x,y)∈{(1;1);(2;3),xy∈N⋅}
27 tháng 1 2022
Trước hết ta thấy rằng nếu có một trong hai số x,y chẵn thì xy chẵn còn 2x+2y+1 là lẻ, do đó 2x+2y+1 không thể chia hết cho xy.
Đề bài:
Cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x y + 1\) chia hết cho 24. Chứng minh rằng \(x + y\) cũng chia hết cho 24.
Phân tích đề bài
Ta có:
\(24 \mid \left(\right. x y + 1 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x y \equiv - 1 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Muốn chứng minh:
\(24 \mid \left(\right. x + y \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Bước 1: Phân tích modulo 24
Ta sẽ xét đồng thời modulo 3 và modulo 8 vì \(24 = 3 \times 8\) và 3, 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Xét modulo 3
Ta có:
\(x y \equiv - 1 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)Vì \(x , y\) là số nguyên dương, modulo 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2.
Kiểm tra các trường hợp:
\(x \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)x(mod3)x \pmod{3}x(mod3)
\(y \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)y(mod3)y \pmod{3}y(mod3)
\(x y \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)xy(mod3)xy \pmod{3}xy(mod3)
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
Do đó, để \(x y \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta phải có \(x \equiv 1 , y \equiv 2\) hoặc \(x \equiv 2 , y \equiv 1\).
Từ đó:
\(x + y \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)Xét modulo 8
Ta có:
\(x y \equiv - 1 \equiv 7 \left(\right. m o d 8 \left.\right) .\)Các số nguyên dương modulo 8 có thể là 1, 3, 5, 7 (các số lẻ) hoặc 0, 2, 4, 6 (các số chẵn).
Xét \(x y \equiv 7 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\):
Các số lẻ modulo 8 là 1, 3, 5, 7.
Kiểm tra các cặp \(\left(\right. x , y \left.\right) \left(\right. m o d 8 \left.\right)\) sao cho \(x y \equiv 7\):
\(x\)xxx
\(y\)yyy
\(x y \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)xy(mod8)xy \pmod{8}xy(mod8)
1
7
7
3
3
1
3
5
7
5
3
7
5
7
3
7
1
7
7
5
3
Các cặp cho \(x y \equiv 7\) modulo 8 là:
\(\left(\right. 1 , 7 \left.\right) , \left(\right. 7 , 1 \left.\right) , \left(\right. 3 , 5 \left.\right) , \left(\right. 5 , 3 \left.\right) .\)Tính \(x + y \left(\right. m o d 8 \left.\right)\) với các cặp này:
Bước 2: Kết luận
- Ta có \(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) và \(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\).
- Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, theo định lý Định lý đồng dư Trung Hoa (CRT), ta suy ra:
\(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Đáp số:
\(\boxed{24 \mid \left(\right. x + y \left.\right) .}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc làm rõ từng bước, cứ hỏi nhé!