Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2n^4+4n^3+3n^2+n+8 không chia hết cho 27
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 9 2018
\(\left(4n+3\right)^2-25=\left(4n+3-5\right)\left(4n+3+5\right)\)
\(=\left(4n-2\right)\left(4n+8\right)=2.\left(2n-1\right).4.\left(n+2\right)=8\left(2n-1\right)\left(n+2\right)⋮8\)
\(\left(2n+3\right)^2-9=\left(2n+3-3\right)\left(2n+3+3\right)\)
\(=2n\left(2n+6\right)=4n\left(n+3\right)⋮4\)
\(\left(3n+4\right)^2-16=\left(3n+4-4\right)\left(3n+4+4\right)\)
\(=3n\left(3n+8\right)⋮3\)
CM
25 tháng 9 2017
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
CM
3 tháng 10 2019
A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6
27 tháng 3 2016
1,
A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)
DM
6 tháng 2 2022
Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì
3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10
Giải
3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n
= 3^n+2 + 3^n – 2^n + 2 - 2^n
= 3^n+2 + 3^n – ( 2^n + 2 + 2^n )
= 3^n . 3^2 + 3^n – ( 2^n . 2^2 + 2^n )
= 3^n . ( 3^2 + 1 ) – 2^n . ( 2^2 + 1 )
= 3^n . 10 – 2^n . 5
= 3^n.10 – 2^n -1.10
= 10.( 3^n – 2^n-1)
Vậy 3^n+2 – 2^n +2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10
CM
23 tháng 12 2017
a) Gọi ƯCLN (n + 3; n + 2) = d.
Ta thấy (n + 3) chia hết cho d; (n+2) chia hết cho d=>[(n + 3)- (n + 2)] chia hết cho d =>l chia hết cho d
Nên d = 1. Do đó n + 3 và n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi ƯCLN (3n+4; 3n + 7) = đ.
Ta thấy (3n + 4) chia hết cho d;(3n+7) chia hết cho d =>[(3n+7) - (3n + 4)] chia hết cho d =>3 chia hết cho d nên
d = 1 hoặc d = 3.
Mà (3n + 4) không chia hết cho 3; (3n + 7) không chia hết cho 3 nên d = 1. Ta có điều phải chứng minh.
c) Gọi ƯCLN (2n + 3; 4n + 8) = d.
Ta thấy (2n + 3) chia hết cho d ; (4n + 8) chia hết cho d => [(4n + 8) - 2.(2n +3)] chia hết cho d => 2 chia hết cho d
nên d = 1 hoặc d = 2.
Mà (2n+3) không chia hết cho 2 nên d = 1. Ta có điều phải chứng minh.
LM
19 tháng 7 2018
bạn ơi bạn chỉ cần biến đổi làm sao cho nguyên vế đó trở thành dạng 5 x ( ...) hoặc là bạn nói nó là bội của 5 thì bạn sẽ kết luận được nó chia hết cho 5 nhé , còn chia hết cho 2 cũng vậy đấy !
bạn hãy nhân đa thức với đa thức nhé !
Mình hướng dẫn bạn rồi đấy ! ok!
k nha !
9 tháng 10 2019
Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
20 tháng 10 2023
Mình mẫu đầu với cuối nhé:
a) Đặt \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=d\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3n+7\right)-\left(3n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1,3\right\}\)
Nhưng do \(3n+4,3n+7⋮̸3\) nên \(d\ne3\Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=1\) hay \(3n+4,3n+7\) nguyên tố cùng nhau.
e) \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=d\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\) \(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=1\), ta có đpcm.
Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức
\(P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8\)không chia hết cho 27, tức là \(P \left(\right. n \left.\right) ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).
Phương pháp chứng minh: Sử dụng phép toán dư (mod 27)
Ta sẽ xét giá trị của \(P \left(\right. n \left.\right)\) theo các giá trị \(n \left(\right. m o d 27 \left.\right)\).
Do \(n\) là số nguyên, ta chỉ cần xét \(n = 0 , 1 , 2 , \ldots , 26\) (các lớp dư modulo 27).
Nếu với mọi \(n \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 26 \left.\right}\), \(P \left(\right. n \left.\right) ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), thì với mọi số nguyên \(n\), \(P \left(\right. n \left.\right)\) không chia hết cho 27.
Bước 1: Tính \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Để giảm bớt tính toán, ta thử xét \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
Ta có:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 n^{4} + n^{3} + 0 + n + 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)Xét các trường hợp \(n \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
- Nếu \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \neq 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)- Nếu \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(n^{4} \equiv 1 , n^{3} \equiv 1 , n \equiv 1\) \(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 \times 1 + 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 1 + 2 = 6 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)- Nếu \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(n^{4} = \left(\right. 2 \left.\right)^{4} = 16 \equiv 1 , n^{3} = 8 \equiv 2 , n = 2\) \(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 \times 1 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)Kết luận:
Vậy \(P \left(\right. n \left.\right)\) chỉ có thể chia hết cho 3 khi \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).
Bước 2: Xét \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) và kiểm tra modulo 9
Giả sử \(n = 3 k + 1\), ta xét \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 9 \left.\right)\).
Tính từng phần:
Thay vào biểu thức:
\(P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8\)tính modulo 9:
\(2 n^{4} \equiv 2 \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) = 6 k + 2\) \(4 n^{3} \equiv 4 \times 1 = 4\) \(3 n^{2} \equiv 3 \left(\right. 6 k + 1 \left.\right) = 18 k + 3 \equiv 0 + 3 = 3\) \(n = 3 k + 1\) \(8 \equiv 8\)Cộng lại:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv \left(\right. 6 k + 2 \left.\right) + 4 + 3 + \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) + 8 = 6 k + 2 + 4 + 3 + 3 k + 1 + 8 = 9 k + 18 = 9 k + 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)Vậy:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)Bước 3: Kết hợp modulo 3 và modulo 9
Bước 4: Kiểm tra \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) với \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Ta thử một vài giá trị \(n = 1 , 4 , 7 , 10\) (tất cả đều \(\equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)):
- \(n = 1\):
\(P \left(\right. 1 \left.\right) = 2 + 4 + 3 + 1 + 8 = 18\)\(18 ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) (vì 18 mod 27 = 18)
- \(n = 4\):
\(n^{2} = 16 , n^{3} = 64 , n^{4} = 256\) \(P \left(\right. 4 \left.\right) = 2 \times 256 + 4 \times 64 + 3 \times 16 + 4 + 8 = 512 + 256 + 48 + 4 + 8 = 828\)\(828 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27 = 828 - 27 \times 30 = 828 - 810 = 18 \neq 0\)
- \(n = 7\):
\(n^{2} = 49 , n^{3} = 343 , n^{4} = 2401\) \(P \left(\right. 7 \left.\right) = 2 \times 2401 + 4 \times 343 + 3 \times 49 + 7 + 8 = 4802 + 1372 + 147 + 7 + 8 = 6336\)\(6336 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27 = 6336 - 27 \times 234 = 6336 - 6318 = 18 \neq 0\)
Kết luận:
Với mọi \(n\), \(P \left(\right. n \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\) luôn bằng 18 hoặc một giá trị khác 0, tức là \(P \left(\right. n \left.\right)\) không chia hết cho 27.
Kết luận cuối cùng:
\(\boxed{\text{V}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; n , 27 \not| P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc hỗ trợ các bài toán tương tự, hãy cho mình biết nhé!