Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì
\(A=n\left(n-4\right)+7n+5\) không chia hết cho 121
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 4 2020
G/s: A = \(n^2+7n+7⋮49\)
=> \(n^2⋮49\)
=> \(n⋮7\)
Đặt : n = 7 k
Khi đó: \(A=49k^2+49k+7⋮49\)
=> \(7⋮49\) vô lí
=> Điều g/s là sai
Vậy A không thể chia hết cho 49.
17 tháng 12 2014
a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)
b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.
Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.
c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)
2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.
10 tháng 6 2015
Mình xin trả lời ngắn gọn hơn! a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15 15 chia hết cho 15 =>60n+15 chia hết cho 15. 60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30 15 không chia hết cho 30 =>60n+15 không chia hết cho 30 b)Gọi số tự nhiên đó là A Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện => A= 15.x+6 & = 9.y+1 Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3 Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=> c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15. => 1500a+2100b chia hết cho 15. d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10. => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.) Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ) Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ) => A không chia hết cho 2;5
HT
21 tháng 10 2015
2,
+ n chẵn
=> n(n+5) chẵn
=> n(n+5) chia hết cho 2
+ n lẻ
Mà 5 lẻ
=> n+5 chẵn => chia hết cho 2
=> n(n+5) chia hết cho 2
KL: n(n+5) chia hết cho 2 vơi mọi n thuộc N
HT
21 tháng 10 2015
3,
A = n2+n+1 = n(n+1)+1
a,
+ Nếu n chẵn
=> n(n+1) chẵn
=> n(n+1) lẻ => ko chia hết cho 2
+ Nếu n lẻ
Mà 1 lẻ
=> n+1 chẵn
=> n(n+1) chẵn
=> n(n+1)+1 lẻ => ko chia hết cho 2
KL: A không chia hết cho 2 với mọi n thuộc N (Đpcm)
b, + Nếu n chia hết cho 5
=> n(n+1) chia hết cho 5
=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1
+ Nếu n chia 5 dư 1
=> n+1 chia 5 dư 2
=> n(n+1) chia 5 dư 2
=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3
+ Nếu n chia 5 dư 2
=> n+1 chia 5 dư 3
=> n(n+1) chia 5 dư 1
=> n(n+1)+1 chia 5 dư 2
+ Nếu n chia 5 dư 3
=> n+1 chia 5 dư 4
=> n(n+1) chia 5 dư 2
=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3
+ Nếu n chia 5 dư 4
=> n+1 chia hết cho 5
=> n(n+1) chia hết cho 5
=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1
KL: A không chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (Đpcm)
3 tháng 8 2015
Do:
\(A=n\left(2n+7\right)\left(7n+7\right)=14n^3+63n^2+49n=14n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3.7n\left(n+1\right)\)
nên A chia hết cho 6
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
20 tháng 9 2024
Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:
Giải
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử A ⋮ 121 ∀ n khi đó ta có với n = k( k \(\in\)n) thì:
A = k2 + 3k + 5 ⋮ 121 (luôn đúng \(\forall\) k \(\in\) N)
Với n = k + 1 thì
A = (k + 1)2 + 3(k + 1) + 5 ⋮ 121 (luôn đúng \(\forall\) k \(\in\) N)
⇒ (k + 1).(k + 1) + 3k + 3 + 5⋮ 121
⇒ k2 + k + k + 1 + 3k + 3 + 5 ⋮ 121
⇒ (k2 + 3k + 5) + (k + k) + (1 + 3)⋮ 121
⇒ (k2 + 3k + 5) + 2k + 4 ⋮ 121
⇒ 2k + 4 ⋮ 121
⇒ 2.(k + 2) ⋮ 121
⇒ k + 2 ⋮ 121 (1)
Mà ta có: k2 + 3k + 5 ⋮ 121
⇒ k(k + 2) + (k + 2) + 3 ⋮ 121
⇒ (k + 2)(k + 1) + 3 ⋮ 121 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: 3 ⋮ 121 (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay
A = n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121 với mọi n (đpcm)
11 tháng 4 2021
Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có \(v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1\).
Do đó \(2^{3^n}+1⋮3^{n+1}\) nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\).
X
20 tháng 10 2018
1.
Trường hợp 1:
Nếu n=2k
Thì n.(n+5)=2k.(2k+5)
Vì 2k chia hết cho 2 nên tích n.(n+1) chia hết cho 2
Trường hợp 2:
Nếu n=2k+1
Thì n.(n+1)=2k+1(2k+1+1)
=>(2k+1)(2k+2)
Vì 2k+2 chia hết cho 2 nên tích n(n+1) chia hết cho 2
2.
\(n^2+n+1\)
\(n^2+n=n.n+n.1=n.\left(n+1\right)\)
\(\text{Vì :}n.\left(n+1\right)\text{là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng là : 2,6,0}\)
\(\text{Vậy}.n\left(n+1\right)+1\text{sẽ có tận cùng là 3,7,1}\)
Vì tận cùng là 3,7,1 nên A không chia hết cho 2, không chia hết cho 5 (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
TH
20 tháng 10 2018
1. TH1 : n là số chẵn.
\(\Rightarrow n⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
TH2 : n là số lẻ
\(\Rightarrow\left(n+5\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
Từ đó \(\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)với mọi \(n\in N\)
2. a) TH1 : Nếu n là số lẻ \(\Rightarrow n^2\)là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (1)
TH2 : Nếu n là số chẵn \(\Rightarrow n^2\)là số chẵn \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A\)không chia hết cho 2 với mọi \(n\in N\)
b)
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\), biểu thức
\(A = n \left(\right. n - 4 \left.\right) + 7 n + 5\)
không chia hết cho 121.
Bước 1: Viết lại biểu thức
Ta có:
\(A = n \left(\right. n - 4 \left.\right) + 7 n + 5 = n^{2} - 4 n + 7 n + 5 = n^{2} + 3 n + 5\)
Vậy:
\(A = n^{2} + 3 n + 5\)
Bước 2: Giả sử ngược lại
Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n_{0}\) sao cho \(A\) chia hết cho 121, tức là:
\(121 \mid n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5\)
hay
\(n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Bước 3: Xét theo modulo 11
Do \(121 = 11^{2}\), ta sẽ xét điều kiện modulo 11 trước.
Ta có:
\(n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Bước 4: Giải phương trình modulo 11
Xét \(n^{2} + 3 n + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Ta tính nghiệm của:
\(n^{2} + 3 n + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Hoặc viết lại:
\(n^{2} + 3 n \equiv - 5 \equiv 6 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Để giải ta dùng công thức nghiệm:
\(n = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\) \(\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Vậy \(\Delta \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Khi \(\Delta \equiv 0\), phương trình có nghiệm kép:
\(n \equiv \frac{- 3}{2} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Tính \(2^{- 1} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\):
Ta tìm số \(x\) sao cho \(2 x \equiv 1 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\). Thử \(x = 6\), vì \(2 \times 6 = 12 \equiv 1 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Vậy:
\(n \equiv - 3 \times 6 = - 18 \equiv 4 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Vậy nghiệm duy nhất modulo 11 là \(n \equiv 4 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Bước 5: Kiểm tra điều kiện modulo \(11^{2} = 121\)
Giả sử \(n = 4 + 11 k\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Ta thay vào biểu thức \(A\):
\(A = \left(\right. 4 + 11 k \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 4 + 11 k \left.\right) + 5\) \(= \left(\right. 16 + 88 k + 121 k^{2} \left.\right) + \left(\right. 12 + 33 k \left.\right) + 5\) \(= 16 + 88 k + 121 k^{2} + 12 + 33 k + 5 = 33 + 121 k^{2} + 121 k\) \(= 33 + 121 \left(\right. k^{2} + k \left.\right)\)
Lấy modulo 121, ta có:
\(A \equiv 33 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Kết luận:
\(A \equiv 33 ≢ 0 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Vậy, với mọi \(n\), \(A = n^{2} + 3 n + 5\) không chia hết cho 121.
Nếu cần, mình có thể giải thích thêm nhé!