s=21​+31​+41​+61​+81​+121​+161​+241​+…+2561​+3841​

Gợi ý: Dãy này có thể là tổng các phân số với mẫu là bội số của 2 và 3 theo một quy luật. Cần xác định quy luật rồi tính tổng hoặc quy nạp.

OK, tiếp theo mình sẽ giải bài Toán lớp 5 tính tổng dãy phân số:
\(s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{24} + \hdots + \frac{1}{256} + \frac{1}{384}\)

2. Toán lớp 5: Tính tổng

\(s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{24} + \hdots + \frac{1}{256} + \frac{1}{384}\)

Bước 1: Nhận xét dãy số

Các mẫu số là:
2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, ..., 256, 384.

Dãy này có vẻ gồm các số tạo ra bằng tích của các lũy thừa 2 và 3.

Cụ thể:

• 2 = \(2^{1} \times 3^{0}\)
• 3 = \(2^{0} \times 3^{1}\)
• 4 = \(2^{2} \times 3^{0}\)
• 6 = \(2^{1} \times 3^{1}\)
• 8 = \(2^{3} \times 3^{0}\)
• 12 = \(2^{2} \times 3^{1}\)
• 16 = \(2^{4} \times 3^{0}\)
• 24 = \(2^{3} \times 3^{1}\)
• ...
• 256 = \(2^{8} \times 3^{0}\)
• 384 = \(2^{7} \times 3^{1}\)

Bước 2: Viết tổng thành tổng theo chỉ số m, n

Ta có thể xem tổng dưới dạng:

\(s = \sum_{m = 0}^{8} \frac{1}{2^{m}} + \sum_{m = 0}^{7} \frac{1}{2^{m} \times 3}\)

Vì:

• Các số chỉ có lũy thừa của 2 (m từ 1 đến 8) cho mẫu số 2, 4, 8, 16, ..., 256
• Các số có cả 2 và 3 ở lũy thừa 1 (m từ 0 đến 7) cho mẫu số 3, 6, 12, 24, ..., 384

Như vậy:

\(s = \left(\right. \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \hdots + \frac{1}{256} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \hdots + \frac{1}{384} \left.\right)\)

Bước 3: Tính từng tổng

• Tổng 1:

\(S_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \hdots + \frac{1}{256} = \sum_{m = 1}^{8} \frac{1}{2^{m}}\)

Đây là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\), số hạng đầu \(a_{1} = \frac{1}{2}\), số hạng cuối \(a_{8} = \frac{1}{2^{8}} = \frac{1}{256}\).

Tổng:

\(S_{1} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{1 / 2 \left(\right. 1 - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{8} \left.\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \left(\right. 1 - \frac{1}{256} \left.\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}\)

• Tổng 2:

\(S_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \hdots + \frac{1}{384} = \sum_{m = 0}^{7} \frac{1}{3 \times 2^{m}}\)

Tương tự, ta có:

\(S_{2} = \frac{1}{3} \sum_{m = 0}^{7} \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{3} \times \frac{1 - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 \times \frac{255}{256} = \frac{2}{3} \times \frac{255}{256} = \frac{510}{768} = \frac{85}{128}\)

Bước 4: Tổng s

\(s = S_{1} + S_{2} = \frac{255}{256} + \frac{85}{128}\)

Quy đồng mẫu 256:

\(\frac{255}{256} + \frac{85 \times 2}{256} = \frac{255}{256} + \frac{170}{256} = \frac{425}{256}\)

Kết luận:

\(\boxed{s = \frac{425}{256} \approx 1.66015625}\)

Bạn muốn mình giải tiếp bài nào?