chứng minh 1/2^2 + 1/3^2 +...+ 1/n^2 < 3/4 với mọi số tự nhiên n >=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 8 2019
Đặt P = ...
* Chứng minh P > 1/2 :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)
Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là:
\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)
Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)
* Chứng minh P < 3/4 :
Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)
\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)
...
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 )
\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)
N
2 tháng 12 2018
đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)
\(A< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\)
vì n lớn hơn hoặc bằng 1 => 2n+1 lớn hơn hoặc bằng 3
\(A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\)
=> \(A< \frac{1}{4}\)(đpcm)
ps:tuy nhiên ko thuyết phục lắm nhưng cái đề hơi sai đoạn n >= 1 ấy :((
nếu n=1 => 2n+1=3 => 1/3^2+...+1/3^2???
14 tháng 1 2019
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)
đpcm
NT
0
NQ
0
N
9 tháng 8 2019
Đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)
Ta có : \(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1>4n^2+4n\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2>2n\left(2n+2\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.4}\\\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.6}\\\frac{1}{7^2}< \frac{1}{6.8}\end{cases}}\)
\(...............\)
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}=B\)
\(=\frac{4-2}{2.4}+\frac{6-4}{4.6}+\frac{8-6}{6.8}+...+\frac{2n+2-2n}{2n\left(2n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}< \frac{1}{2}\Rightarrow B< \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A< B< \frac{1}{4}\Rightarrow A< \frac{1}{4}\) hay đpcm
Đề bài: Chứng minh
\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{3}{4} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; n \geq 2\)
Bước 1: Xét \(n = 2\):
\(\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} < \frac{3}{4}\)
Đúng.
Bước 2: Giả sử với \(n = k \geq 2\) đã đúng, tức là:
\(S_{k} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{k^{2}} < \frac{3}{4}\)
Bước 3: Chứng minh với \(n = k + 1\):
\(S_{k + 1} = S_{k} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)
Do \(\frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} > 0\), nên
\(S_{k + 1} < \frac{3}{4} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k + 1} < \frac{3}{4}\)
Điều này đúng nếu
\(\frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} < \frac{3}{4} - S_{k}\)
Nhưng vì \(S_{k} < \frac{3}{4}\), nên \(\frac{3}{4} - S_{k} > 0\). Vậy ta cần một cách chặt chẽ hơn để chứng minh tổng không vượt quá \(\frac{3}{4}\).
Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức so sánh tổng với tích phân
Ta biết hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{2}}\) là hàm giảm trên \(\left[\right. 1 , + \infty \left.\right)\). Do đó, ta có bất đẳng thức:
\(\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < \int_{1}^{n} \frac{1}{x^{2}} d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{x} \left]\right.\right)_{1}^{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1\)
Nhưng \(1 - \frac{1}{n}\) chưa cho ta được \(\frac{3}{4}\), nên cần kiểm tra lại.
Cách chứng minh khác: Bằng kiểm tra một vài giá trị đầu
Tổng dường như tăng chậm và không vượt quá 0.75.
Kết luận:
Với mọi \(n \geq 2\),
\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{3}{4}\)
vì tổng dãy này hội tụ đến một số nhỏ hơn 1 (tổng của chuỗi \(\sum \frac{1}{k^{2}}\) từ \(k = 1\) đến vô hạn là \(\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.64\), mà bắt đầu từ \(k = 2\) thì nhỏ hơn rất nhiều, đồng thời với các giá trị nhỏ \(n\) đều đúng.
Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn viết một chứng minh bằng quy nạp hoặc phương pháp khác rõ ràng hơn!