Tìm tất cả các bộ số nguyên (n,k,p) trong đó là số nguyên tố thỏa mãn |6n^2 - 17n - 39| = k^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác:
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)
Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)
12 tháng 3 2021
\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).
+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\)
+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).
Không tồn tại n > 2 thoả mãn
Vậy...
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}n^3-n-1>1,n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{cases}}\) trong đó \(\hept{\begin{cases}r\ge s\ge0\\r+s=k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác :
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=5\\k=2\end{cases}}\)
Vậy bộ số cần tìm là (n,k,p)=(2,2,5)
NN
0
10 tháng 4 2018
B1: n2 + 6n + 8 = n2 + 4n + 2n + 8 = n(n+4) + 2(n+4) = (n+2)(n+4)
Vì n+2 < n+4 => n + 2 = 1 => n = -1
=> A = 3 nguyên tố, thoả
B2: x + y + xy = 2
=> x(y+1) + (y+1) = 3
=> (x+1)(y+1) = 3
Ta có:
| x+1 | 1 | 3 | -1 | -3 |
| y+1 | 3 | 1 | -3 | -1 |
| x | 0 | 2 | -2 | -4 |
| y | 2 | 0 | -4 | -2 |
Vậy (x,y) = .....................
B3: a : b = c dư r
=> 112 : b = 5 dư r
=> 112 : 5 = b dư r
=> 112 - r chia hết cho 5 và r < 5
=> r = 2 => b = 22
12 tháng 1 2022
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
12 tháng 1 2022
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
QT
0
Bài toán yêu cầu tìm tất cả các bộ số nguyên \(\left(\right. n , k , p \left.\right)\), trong đó \(p\) là số nguyên tố, sao cho:
\(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2} .\)
Tuy nhiên, đề bài bạn viết chưa rõ vai trò của \(p\) (số nguyên tố) ở đâu trong phương trình. Hiện tại chỉ thấy phương trình chứa \(n , k\). Bạn có thể làm rõ hơn vai trò của \(p\) không? Ví dụ:
Giả sử đề bài đúng là:
Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left(\right. n , k \left.\right)\) sao cho \(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2}\), và \(p\) là số nguyên tố nào đó thỏa mãn điều kiện.
Phân tích bài toán:
Ta xét phương trình
\(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2} .\)
Có nghĩa là \(6 n^{2} - 17 n - 39 = \pm k^{2}\).
Ta tách ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = k^{2}\).
Xếp lại:
\(6 n^{2} - 17 n - 39 - k^{2} = 0.\)
Ở đây, \(n , k \in \mathbb{Z}\).
Trường hợp 2: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = - k^{2}\).
Tương tự:
\(6 n^{2} - 17 n - 39 + k^{2} = 0.\)
Cách giải:
Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp.
Trường hợp 1: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = k^{2}\)
Đặt
\(6 n^{2} - 17 n - 39 - k^{2} = 0.\)
Xem đây là phương trình bậc hai theo \(n\):
\(6 n^{2} - 17 n - \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) = 0.\)
Để \(n\) nguyên, thì
\(\Delta = \left(\right. - 17 \left.\right)^{2} - 4 \times 6 \times \left(\right. - \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) \left.\right) = 289 + 24 \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) = 289 + 936 + 24 k^{2} = 1225 + 24 k^{2}\)
phải là một số chính phương.
Gọi \(\Delta = m^{2}\) với \(m \in \mathbb{Z}\), ta có
\(m^{2} = 1225 + 24 k^{2} .\)
Viết lại:
\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)
Đây là phương trình dạng Pell biến thể:
\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)
Phương trình Pell biến thể:
Tìm nghiệm nguyên \(\left(\right. m , k \left.\right)\) sao cho:
\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)
Phân tích:
\(m^{2} - 24 k^{2} = 35^{2} .\)
Tức là
\(m^{2} - 24 k^{2} = 35^{2} .\)
Phương trình này giống dạng
\(x^{2} - D y^{2} = N ,\)
với \(D = 24\), \(N = 35^{2}\).
Cách giải:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình này có thể bằng cách phân tích nhân tử trong \(\mathbb{Z} \left[\right. \sqrt{24} \left]\right.\), hoặc thử nghiệm số nhỏ.
Thử một số giá trị nhỏ cho \(k\):
Vậy \(\left(\right. m , k \left.\right) = \left(\right. 49 , 7 \left.\right)\) là nghiệm.
Từ đây ta có 2 nghiệm \(\left(\right. m , k \left.\right)\):
Và có thể tiếp tục tìm thêm nghiệm bằng cách nhân với nghiệm cơ sở của Pell \(x^{2} - 24 y^{2} = 1\).
Với \(m = 35 , k = 0\):
\(n = \frac{17 \pm m}{12} = \frac{17 \pm 35}{12} .\)
Tính từng trường hợp:
Vậy không có \(n\) nguyên với \(k = 0\).
Với \(m = 49 , k = 7\):
\(n = \frac{17 \pm 49}{12} .\)
Tính:
Không có \(n\) nguyên.
Thử thêm nghiệm khác:
Trường hợp 2: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = - k^{2}\)
Xếp lại:
\(6 n^{2} - 17 n - 39 + k^{2} = 0.\)
Tương tự, coi phương trình bậc hai theo \(n\):
\(6 n^{2} - 17 n + \left(\right. k^{2} - 39 \left.\right) = 0 ,\)
định \(\Delta_{n}\):
\(\Delta_{n} = \left(\right. - 17 \left.\right)^{2} - 4 \times 6 \times \left(\right. k^{2} - 39 \left.\right) = 289 - 24 k^{2} + 936 = 1225 - 24 k^{2} .\)
Phải có \(\Delta_{n} = m^{2}\) là số chính phương nguyên:
\(m^{2} = 1225 - 24 k^{2} .\)
Viết lại:
\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225.\)
Đây là phương trình elip trong số nguyên:
\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225 = 35^{2} .\)
Tìm cặp \(\left(\right. m , k \left.\right)\) nguyên thỏa:
\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225.\)
Thử các giá trị \(k\) sao cho \(24 k^{2} \leq 1225\):