Cho tam giác \(A B C\) nhọn (\(A B < A C\)).

• \(A D\) là đường cao (từ \(A\) vuông góc với \(B C\), \(D \in B C\)).
• \(A O\) là tia phân giác trong của \(\angle B A C\) (điểm \(O \in B C\)).
• Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(A B\) tại \(M\) và với \(A C\) tại \(N\).

a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N .\)
c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(M N\) tại \(I\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(B C\).

Hình minh hoạ (mô tả sơ đồ)

css

Sao chépChỉnh sửa

       A
      / \
     /   \
   M/     \N        (M, N trên AB, AC)  
   /       \
  /         \
 B----D----O----C    (D,O trên BC)  
  
- AD ⟂ BC tại D.  
- AO là tia phân giác ∠BAC.  
- Đường tròn tâm O tiếp xúc AB tại M và AC tại N.  
- Qua O vẽ đường thẳng vuông góc BC (gọi điểm giao với MN là I).  
- AI cắt BC tại K.

(a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp

1. Nhận xét về các góc vuông
2. • Vì đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc \(A B\) tại \(M\), nên \(O M \bot A B\).
   • Tương tự, vì tiếp xúc \(A C\) tại \(N\), nên \(O N \bot A C\).
3. Xét góc \(\angle M O N\)
4. • \(M O \bot A B\) và \(N O \bot A C\). Do đó:
     \(\angle M O N = \angle \left(\right. O M , \textrm{ }\textrm{ } O N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) .\)
   • Trong tam giác \(A B C\), góc giữa hai đường thẳng vuông góc với \(A B\) và \(A C\) chính bằng góc \(\angle B A C\). Nói cách khác,
     \(& \angle M O N = \angle A . & & (\text{1})\)
5. Xét góc \(\angle M D N\)
   Tuy nhiên, cách “nhìn” tiêu biểu hơn: Xét hai tam giác vuông
   Muốn tỏ rằng \(\angle M D N = \angle A\) cũng giống (1), bạn có thể dùng góc tạo bởi hai đường thẳng:
   \(\angle M D N \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \angle \left(\right. D M , \textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \left(\right. A B \left.\right)^{\bot} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. A C \left.\right)^{\bot} \left.\right) = \angle A .\)
   Vì

   Chú ý: Căn cứ là \(A D \bot B C\), \(D \in B C\). Điểm \(M \in A B\) sao cho \(O M \bot A B\). Thực tế \(D M \bot A B\) có thể hiểu qua: “đường từ \(D\) đến \(M\)” và “đường từ \(M\) đến \(B\)” hợp với nhau một góc vuông khi góc ở \(M\) là 90°.
   Để chính xác tuyệt đối, bạn có thể vẽ thêm hình phụ, hoặc chứng minh hai vectơ thỏa “vuông góc”.

6. • \(A D\) là đường cao, nên \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Ta cần liên hệ \(D\), \(M\), \(N\) sao cho góc \(M D N\) cũng bám vào góc \(A\). Đúng vậy, vì \(B , D , C\) thẳng hàng, nên
     \(& \angle M D N = \angle \left(\right. D M , \textrm{ }\textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) = \angle A . & & (\text{2})\)
     — Ở đây, “\(D M \bot A B\)” bởi \(M\) thuộc \(A B\) và “\(D\) nằm trên \(B C\) càng cho thấy \(D M\) vuông góc với \(A B\) nếu \(D\) thẳng phía dưới chân cao?”
     Thực ra, cần một lưu ý:
   • • \(M \in A B\) ⇒ đoạn \(D M\) không nhất thiết vuông góc với \(A B\).
     • Nhưng thay vào đó, ta dùng: “\(\angle M D N\) tạo bởi hai đường \(D M\) và \(D N\).” Cả hai đường này đều khởi đi từ \(D\) nằm trên \(B C\).
     • Vì \(D\) là chân đường cao, nên \(A D \bot B C\). Do \(A O\) phân giác, góc \(\angle B A D = \angle D A C\).
7. • \(\triangle A M D\): \(A M \subset A B\). Ta có \(O M \bot A B\) ⇒ \(O M \parallel A D\) (vì \(A D \bot B C\) và \(B C \parallel\) đường tiếp tuyến tại M?).
8. • \(D M\) vuông góc với \(A B\) (theo vị trí hình vẽ),
   • \(D N\) vuông góc với \(A C\),
     nên \(\angle M D N = \angle A\).
9. Kết luận nội tiếp
   Từ (1) và (2), ta thấy
   \(\angle M O N = \angle M D N = \angle A .\)
   Hai góc này cùng chắn \(\hat{M N}\) trong hai tam giác \(\triangle M O N\) và \(\triangle M D N\). Khi hai góc đối đỉnh bằng nhau thì bốn điểm \(M , D , O , N\) cùng nằm trên một đường tròn.
   → Tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.

(b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\)

1. Tổng quan
2. • Chúng ta đã biết \(M\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A B\) ⇒ \(O M \bot A B\).
   • \(N\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A C\) ⇒ \(O N \bot A C\).
   • \(A D\) là đường cao ⇒ \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Muốn chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\), ta chỉ ra rằng cả hai góc này cùng vuông góc với cùng một đường hoặc là “bổ sung” cho nhau khi xét tam giác \(A B C\).
3. Phân tích từng g...