cho C=1/3 -2/3+3/3^3+4/3^3+...+99/3^99-100/3^100. CM C < 3/16 giải nhanh giúp mình vs ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
1
4 tháng 7 2019
Câu hỏi của Biêtdongsaigon - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link này nhé!
DD
6 tháng 8 2016
Ta có:
A=1/3 - 2/3^2+3/3^3 - 4/3^4+ ... - 100/3^100
=>3A=1 -2/3 +3/3^2 - 4/3^3+ ... - 100/3^99
=>4A=A+3A=1-1/3+1/3^2-1/3^3+...-1/3^99 - 100/3^100
=>12A=3.4A=3-1+1/3-1/3^2+...-1/3^98 - 100/3^99
=>16A=12A+4A=3-1/3^99-100/3^99-100/3^1...
<=>16A=3-101/3^99-100/3^100
<=>A=3/16-(101/3^99+100/3^100)/16 < 3/16
Suy ra A<3/16
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 1
Ta có: \(S=\frac13-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+\cdots+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=>\(3S=1-\frac23+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+\ldots+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
=>3S+S=\(1-\frac23+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+\cdots+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}+\frac13-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+\cdots+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=>4S=\(1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
Đặt \(A=-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}\)
=>3A=\(-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\cdots-\frac{1}{3^{98}}\)
=>3A+A=\(-1+\frac13-\frac{1}{3^2}+\cdots-\frac{1}{3^{98}}-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}\)
=>4A=\(-1-\frac{1}{3^{99}}=\frac{-3^{99}-1}{3^{99}}\)
=>\(A=\frac{-3^{99}-1}{4\cdot3^{99}}\)
Ta có: \(4S=1-\frac13+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\cdots-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(=1+\frac{-3^{99}-1}{4\cdot3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}=1+\frac{-3^{100}-3-400}{4\cdot3^{100}}=1-\frac14-\frac{403}{4\cdot3^{100}}<\frac34\)
=>\(S<\frac{3}{16}\)
mà 3/16<3/15=1/5
nên S<1/5
KC
1
9 tháng 5 2015
nhưng xl, mk là cn gái ko pải cn trai, muốn ko, thử thj` khắc biết
11 tháng 5 2018
Đặt \(A=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3A=1-\frac{2}{3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(4A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
Đặt \(B=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3B=3+1+...+\frac{3}{3^{98}}\)
\(2B=3-\frac{1}{3^{99}}\)
\(B=\frac{3}{2}-\frac{1}{3^{99}.2}\)
Thay B vào 4A ta có:
\(4A=\frac{3}{2}-\frac{1}{3^{99}.2}\)
\(A=\frac{3}{2.4}-\frac{1}{3^{99}.2.4}\)
\(A=\frac{3}{8}-\frac{1}{3^{99}.8}\)
Vì \(\frac{3}{8}>\frac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{8}-\frac{1}{3^{99}.8}< \frac{3}{16}\)
Vậy \(A< \frac{3}{16}\)
bài toán chứng minh tổng \(C = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{3^{3}} + \frac{4}{3^{4}} + \hdots + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}} < \frac{3}{16}\). Thầy sẽ hướng dẫn em từng bước chi tiết để giải bài này nhé!
1. Nhận xét về dấu của các số hạng
Ta thấy dấu của các số hạng thay đổi như sau:
2. Đặt tổng và phân tích
Xét tổng:
\(S = \sum_{k = 1}^{100} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}}\)
Ta cần chứng minh \(S < \frac{3}{16}\).
3. Tính tổng tổng quát
Xét tổng tổng quát:
\(S \left(\right. x \left.\right) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} k x^{k}\)
với \(x = \frac{1}{3}\).
Ta biết rằng:
\(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1 )\)
Áp dụng cho tổng đan dấu:
\(S \left(\right. x \left.\right) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 + x \left.\right)^{2}}\)
Thay \(x = \frac{1}{3}\):
\(S \left(\right. \frac{1}{3} \left.\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\left(\right. 1 + \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\left(\right. \frac{4}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{16}{9}} = \frac{3}{16}\)
4. So sánh \(C\) và \(S\)
Tổng \(C\) của em là tổng hữu hạn:
\(C = \sum_{k = 1}^{100} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}}\)
Trong khi \(S\) là tổng vô hạn:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}} = \frac{3}{16}\)
Ta thấy:
Do đó, tổng \(C\) là tổng của một dãy đan dấu có độ lớn giảm dần, nên:
\(C < S = \frac{3}{16}\)
5. Kết luận
Vậy ta có:
\(C = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{3^{3}} + \hdots - \frac{100}{3^{100}} < \frac{3}{16}\)
Chú ý: Nếu em chưa học về chuỗi vô hạn, có thể dùng phương pháp đánh giá từng cặp số hạng để chứng minh \(C < \frac{3}{16}\). Em hiểu chưa nào? Nếu còn thắc mắc, cứ hỏi thầy nhé! 😊