2) Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Từ điểm M bất kì trên tiếp tuyến Ax của nửa đường trònvẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AC.1) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh: OI.OM = R2 và OM // BC.3) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MB cắt đường tròn (O) tại D và cắt CH tại K. Chứng minh K là trung...
Đọc tiếp
2) Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Từ điểm M bất kì trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn
vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AC.
1) Chứng minh bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh: OI.OM = R2 và OM // BC.
3) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MB cắt đường tròn (O) tại D và cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm của CH.
a. Em tự giải
b.
Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và C
\(\Rightarrow MA=MC\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Đồng thời \(OA=OC=R\)
\(\Rightarrow OM\) là trung trực của AC
\(\Rightarrow OM\perp AC\) tại I và I là trung điểm AC (1)
MA là tiếp tuyến tại A \(\Rightarrow MA\perp OA\Rightarrow\Delta OMA\) vuông tại A
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMA với đường cao AI:
\(OA^2=OI.OM\Leftrightarrow OI.OM=R^2\)
Do AB là đường kính và C thuộc nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\) (nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BC\perp AC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow OM||BC\) (cùng vuông góc AC)
c.
Gọi E là giao điểm đường thẳng BC và tiếp tuyến đường tròn tại A
\(\Rightarrow\widehat{ECA}=180^0-\widehat{ACB}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AEC}+\widehat{EAC}=90^0\) (3)
Lại có \(MA=MC\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta MAC\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{MCA}\) (4)
Đồng thời \(\widehat{MCA}+\widehat{MCE}=\widehat{ECA}=90^0\) (5)
(3);(4);(5) \(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{MCE}\Rightarrow\Delta MCE\) cân tại M
\(\Rightarrow MC=ME\Rightarrow ME=MA\) (6)
Do \(CH\perp AB\Rightarrow CH||EA\) (cùng vuông góc AB)
Áp dụng định lý Thales trong tam giác ABM:
\(\dfrac{KH}{MA}=\dfrac{BK}{BM}\) (7)
Áp dụng định lý Thales trong tam giác BEM:
\(\dfrac{KC}{ME}=\dfrac{BK}{BM}\) (8)
(6);(7);(8) \(\Rightarrow KH=KC\Rightarrow K\) là trung điểm CH