a) Tứ giác AHIK có:

A H I ^ = 90 0   ( I H ⊥ A B ) A K I ^ = 90 0   ( I K ⊥ A D ) ⇒ A H I ^ + A K I ^ = 180 0

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) ∆ IAD và  ∆ IBC có:

A ^ 1 = B ^ 1  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

A I D ^ = B I C ^  (2 góc đối đỉnh)

=> ∆ IAD ~   ∆ IBC (g.g)

⇒ I A I B = I D I C ⇒ I A . I C = I B . I D

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có K ^ 1 = D ^ 1

A ^ 1 = H ^ 1  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà  A ^ 1 = B ^ 1 ⇒ H ^ 1 = B ^ 1

Chứng minh tương tự, ta được K ^ 1 = D ^ 1

∆ HIK và  ∆ BCD có:  H ^ 1 = B ^ 1  ;  K ^ 1 = D ^ 1

=>   ∆ HIK  ~   ∆ BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của  ∆ BCD.

Vì  ∆ HIK  ~   ∆ BCD nên:

S ' S 1 = H K 2 B D 2 = H K 2 ( I B + I D ) 2 ≤ H K 2 4 I B . I D = H K 2 4 I A . I C                                 (1)

Vẽ  A E ⊥ B D  ,  C F ⊥ B D ⇒ A E / / C F ⇒ C F A E = I C I A  

∆ ABD và  ∆ BCD có chung cạnh đáy BD nên:

S 1 S = C F A E ⇒ S 1 S = I C I A                                                                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra

S ' S 1 ⋅ S 1 S ≤ H K 2 4 I A . I C ⋅ I C I A ⇔ S ' S ≤ H K 2 4 I A 2  (đpcm)

ta có 

\(\widehat{AEH}=90^0;\widehat{AFH}=90^0\)

=> \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

=> tứ giác AEHF nội tiếp được nhé

ta lại có AEB=ADB=90 độ

=> E , D cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc zuông

=> tứ giác AEDB nội tiếp được nha

b)ta có góc ACK = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hai tam giác zuông ADB zà ACK có

ABD = AKC ( góc nội tiếp chắn cung AC )

=> tam giác ABD ~ tam giác AKC (g.g)

c) zẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)

ta có OC \(\perp\) Cx (1)

=> góc ABC = góc DEC

mà góc ABC = góc ACx

nên góc ACx= góc DEC

do đó Cx//DE       ( 2)

từ 1 zà 2 suy ra \(OC\perp DE\)

a: Xét (O) có

ΔCBD nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Ta có: \(\hat{ABD}+\hat{DBC}=\hat{ABC}=90^0\)

\(\hat{DBC}+\hat{DCB}=90^0\) (ΔDBC vuông tại D)

Do đó: \(\hat{ABD}=\hat{DCB}\)

mà \(\hat{DCB}=\hat{OCD}=\hat{ODC}\) (ΔOCD cân tại O)

nên \(\hat{ODC}=\hat{ABD}\)

b: Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao

nên \(AB^2=AD\cdot AC\)

c: ΔBDA vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên IB=ID

Xét ΔOBI và ΔODI có

OB=OD

BI=DI

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔODI

=>\(\hat{OBI}=\hat{ODI}\)

=>\(\hat{ODI}=90^0\)

Ta có: \(\hat{OBI}=\hat{ODI}=90^0\)

=>O,B,I,D cùng thuộc đường tròn đường kính OI

=>BIDO là tứ giác nội tiếp

1: góc ADC=góc AFC=90 độ

=>ADFC nội tiếp

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

Bài 1 : 

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 50:2=25 (m)

Gọi chiều rộng là x (0<x<12,5)

=> chiều dài là: 25 -x (m)

Diện tích là: x (25-x)

Ta có phương trình: 

\(x\left(25-x\right)=144\)

\(\Rightarrow-x^2+25x=144\)

\(\Rightarrow x^2-25x+144=0\)

\(\Rightarrow x^2-9x-16x+144=0\)

\(\Rightarrow\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\)

Vậy chiều rộng là 9m và chiều dài là 25-9=16m

A B C D O I F E G E'

Gọi đường tròn (BIC) cắt BD trại G khác B. Trên đoạn AD lấy E' sao cho AE' = AF.

Xét \(\Delta\)AIF và \(\Delta\)AIE': AF = AE', ^IAF = ^IAE', AI chung => \(\Delta\)AIF = \(\Delta\)AIE' (c.g.c) => IF = IE' 

Xét (BIC): ^FBG nội tiếp, BI là phân giác ^FBG, I thuộc (BIC) => (IF = (IG => IF = IG. Từ đó IG = IE'

Dễ thấy: ^IE'A = ^IFA (Do \(\Delta\)AIF = \(\Delta\)AIE') => ^IFB = ^IE'D hay ^IE'D = ^IGD

Từ đó: ^GID = ^E'ID (Vì ^IDE' = ^IDG), kết hợp với IG = IE', cạnh ID chung => \(\Delta\)DGI = \(\Delta\)DE'I (c.g.c)

Suy ra: DG = DE'. Ta lại có: ^CAB = ^CDB; ^CFB = ^CGB => ^FCA = ^GCD

Xét \(\Delta\)CFA và \(\Delta\)CGD: CA = CD; ^CAF = ^CDG; ^FCA = ^GCD => \(\Delta\)CFA = \(\Delta\)CGD (g.c.g)

=> AF = DG. Mà DG = DE' nên AF = DE'. Do đó: DE' = AE' => E' là trung điểm AD => E' trùng E

Như vậy AE = AF và IF = IE suy ra AI là trung trực của EF hay AI vuông góc EF (đpcm),

1) Ta có: \(\angle AEB+\angle ADB=90+90=180\Rightarrow AEBD\) nội tiếp

2) Tương tự ta chứng minh được: \(ADCF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ADF=\angle ACF=\angle ABC\)

3) Ta có: \(\angle AED=\angle ABC=\angle ADF\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle ADE=\angle AFD\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AFD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADE=\angle AFD\\\angle AED=\angle ADF\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta AFD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AD^2=AE.AF\)

4) \(\Delta ADE\sim\Delta AFD\Rightarrow\angle DAE=\angle DAF\)

\(\Rightarrow AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

Vì M,N là trung điểm AE,AF \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AE\\AN=\dfrac{1}{2}AF\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(AD=AM+AN\Rightarrow AD^2=\left(AM+AN\right)^2\)

\(\Rightarrow AE.AF=\dfrac{1}{4}\left(AE+AF\right)^2\Rightarrow4AE.AF=\left(AE+AF\right)^2\)

mà \(\left(AE+AF\right)^2\ge4AE.AF\) (BĐT Cô-si) 

\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A có \(AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

\(\Rightarrow AD\) là trung trực \(EF\Rightarrow AD\bot EF\) mà \(AD\bot BC\)

\(\Rightarrow BC\parallel EF\) 

Ta có: \(\angle EBC=\angle EBA+\angle ABC=\angle ACB+\angle ACF=\angle FCB\)

\(\Rightarrow BCFE\) là hình thang cân có \(AD\) là trung trực EF

\(\Rightarrow AD\) là trung trực BC mà \(O\in\) trung trực BC

\(\Rightarrow A,O,D\) thẳng hàng

Bài 1. câu 3

Kẻ đường kính MK của (O), cắt CD tại I => góc MAK = 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Tam giác AHM vuông tại H có đường cao HD => MH² = MA.MD

tương tự MH² = MB.MC => MA.MD = MB.MC => MD/MB = MC/MA và góc AMB chung => tam giác MCD đồng dạng tam giác MAB 

=> góc MDC = góc MBA mà góc MBA = góc MKA (cùng chắn cung MA) => góc MDC = góc MKA hay gócMDI = góc MKA

tam giác MDI và tam giác MKA có góc M chung và góc MDI = góc MKA (cmt) nên đồng dạng => góc MIA = MAK = 90⁰

=> MK vuông góc CD hay MO vuông góc CD

Bài 2. câu 3 : Tỉ số \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

chỉ tôi câu 2 bài 1 vs

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

=>góc AEF=góc AHF=góc C

=>góc FEB+góc FCB=180 độ

=>BEFC nội tiếp

b: góc BAH=90 độ-góc ABH

=1/2(180 độ-sđ cung AC)

=góc OAC