Bài 7 (3,0 điểm)Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến SM, SN đến đường tròn (O) (OS > 2R vàM, N là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm SO.a) Chứng minh tứ giác SMON nội tiếp.b) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng OS và đường tròn (O); H là giao điểm của SO và MN. Chứng minh MH.KS = KH.MS.c) Biết OS = R√5. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN theo R.vẽ hình +...
Đọc tiếp
Bài 7 (3,0 điểm)
Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến SM, SN đến đường tròn (O) (OS > 2R và
M, N là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm SO.
a) Chứng minh tứ giác SMON nội tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng OS và đường tròn (O); H là giao điểm của SO và MN. Chứng minh MH.KS = KH.MS.
c) Biết OS = R√5. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN theo R.
vẽ hình + giải
a: Xét tứ giác SMON có
nên SMON là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO
=>SMON nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính SO
b: Xét (O) có
SM,SN là các tiếp tuyến
Do đó: SM=SN
=>S nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của MN
=>SO\(\perp\)MN tại H và H là trung điểm của MN
Ta có: \(\widehat{SMK}+\widehat{OMK}=\widehat{SMO}=90^0\)
\(\widehat{HMK}+\widehat{OKM}=90^0\)(ΔHKM vuông tại H)
mà \(\widehat{OMK}=\widehat{OKM}\)(ΔOKM cân tại O)
nên \(\widehat{SMK}=\widehat{HMK}\)
=>MK là phân giác của góc HMS
Xét ΔMHS có MK là phân giác
nên \(\dfrac{KH}{KS}=\dfrac{MH}{MS}\)
=>\(KH\cdot MS=KS\cdot MH\)
c: ΔOMS vuông tại M
=>\(MO^2+MS^2=SO^2\)
=>\(SM=\sqrt{\left(R\sqrt{5}\right)^2-R^2}=2R\)
=>SN=SM=2R
Xét ΔSMO vuông tại M có MH là đường cao
nên \(MH\cdot OS=MO\cdot MS\)
=>\(MH=\dfrac{R\cdot2R}{R\sqrt[]{5}}=\dfrac{2R}{\sqrt{5}}=\dfrac{2R\sqrt{5}}{5}\)
=>\(MN=2\cdot MH=2\cdot\dfrac{2R\sqrt{5}}{5}=\dfrac{4R\sqrt{5}}{5}\)
Xét ΔSMN có \(cosMSN=\dfrac{SM^2+SN^2-MN^2}{2\cdot SM\cdot SN}\)
\(=\dfrac{\left(2R\right)^2+\left(2R\right)^2-\left(\dfrac{2R\sqrt{5}}{5}\right)^2}{2\cdot2R\cdot2R}=\dfrac{8R^2-0,8R^2}{8R^2}=\dfrac{9}{10}\)
=>\(sinMSN=\sqrt{1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{19}}{10}\)
\(S_{MSN}=\dfrac{1}{2}\cdot SM\cdot SN\cdot sinMSN=\dfrac{1}{2}\cdot2R\cdot2R\cdot\dfrac{\sqrt{19}}{10}=\dfrac{2R^2\cdot\sqrt{19}}{10}=\dfrac{R^2\cdot\sqrt{19}}{5}\)
Nửa chu vi tam giác MSN là:
MS+SN+MN
\(=2R+2R+\dfrac{4R\sqrt{5}}{5}=R\left(4+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)=R\cdot\dfrac{20+4\sqrt{5}}{5}\)
Bán kính đường tròn nội tiếp ΔSMN là:
\(R^2\cdot\dfrac{\sqrt{19}}{5}:\dfrac{R\cdot\left(20+4\sqrt{5}\right)}{5}=\dfrac{R^2\sqrt{19}}{5}\cdot\dfrac{5}{R\left(20+4\sqrt{5}\right)}=R\cdot\dfrac{\sqrt{19}}{20+4\sqrt{5}}\)