1

A B C A' B' C' Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa

Ta có : \(\frac{AH}{AA'}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABA'}}=\frac{S_{ACH}}{S_{ACA'}}=\frac{S_{ABH}+S_{ACH}}{S_{ABC}}\)   ( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ số diện tích )

Tương tự ta có :

\(\frac{BH}{BB'}=\frac{S_{AHB}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\) , \(\frac{CH}{CC'}=\frac{S_{ACH}+S_{BHC}}{S_{SBC}}\)

Do đó :

\(\frac{AH}{AA'}+\frac{BH}{BB'}+\frac{CH}{CC'}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{AHC}+S_{BHC}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2\cdot S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)

Vậy : \(\frac{AH}{AA'}+\frac{BH}{BB'}+\frac{CH}{CC'}=2\)

Xét tứ giác AC'HB' có \(\hat{AC^{\prime}H}+\hat{AB^{\prime}H}=90^0+90^0=180^0\)

nên AC'HB' là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BC'HA' có \(\hat{BC^{\prime}H}+\hat{BA^{\prime}H}=90^0+90^0=180^0\)

nên BC'HA' là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CA'HB' có \(\hat{CA^{\prime}H}+\hat{CB^{\prime}H}=90^0+90^0=180^0\)

nên CA'HB' là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{HC^{\prime}B^{\prime}}=\hat{HAB^{\prime}}\) (AC'HB' là tứ giác nội tiếp)

\(\hat{HC^{\prime}A^{\prime}}=\hat{HBA^{\prime}}\) (BC'HA' nội tiếp)

mà \(\hat{HAB^{\prime}}=\hat{HBA^{\prime}}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HC^{\prime}B^{\prime}}=\hat{HC^{\prime}A^{\prime}}\)

=>C'H là phân giác của góc A'C'B'

Ta có: \(\hat{C^{\prime}B^{\prime}H}=\hat{C^{\prime}AH}\) (AC'HB' nội tiếp)

\(\hat{A^{\prime}B^{\prime}H}=\hat{A^{\prime}CH}\) (A'HB'C nội tiếp)

mà \(\hat{C^{\prime}AH}=\hat{HCA^{\prime}}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{C^{\prime}B^{\prime}H}=\hat{A^{\prime}B^{\prime}H}\)

=>B'H là phân giác của góc A'B'C'

Xét ΔA'B'C' có

C'H, B'H là các đường phân giác

C'H cắt B'H tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔA'B'C'

+ Các tam giác ABC và ABH có chung đáy AB nên tỉ số đường cao bằng tỉ số diện tích:

+ Tương tự:

Khi đó ta có