a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAB' và MA'B chúng có:

= ( đối đỉnh)

= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Do đó ∆MAB' ~ ∆MA'B, suy ra:

= , do đó MA. MB = MB'. MA'

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

∆MAB' ~ ∆MA'B

M chung = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Suy ra: =

hay MA. MB = MB'. MA'

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh

Các khẳng định đúng: b, c, e, f.

Các khẳng định sai: a, d, g.

Vì KB,KI là tiếp tuyến \(\Rightarrow KB=KI\)

Vì EI,EA là tiếp tuyến \(\Rightarrow EA=EI\)

\(\Rightarrow\) chu vi \(\Delta MEK=MK+ME+KE=MK+ME+KI+IE\)

\(=MK+ME+KB+EA=\left(MK+KB\right)+\left(ME+EA\right)=MA+MB\)

mà M,A,B cố định \(\Rightarrow\) đpcm

a: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên OE⊥CD và OE là phân giác của góc COD

Ta có: \(\hat{OEM}=\hat{OAM}=\hat{OBM}=90^0\)

=>O,E,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

ΔOAM vuông tại A

=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)

=>\(MA^2=OM^2-OA^2=OM^2-R^2\)

=>\(MC\cdot MD=MA^2=OM^2-R^2\)

c: Gọi K là giao điểm của OE và AB

Xét ΔOEM vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

\(\hat{EOM}\) chung

DO đó: ΔOEM~ΔOHK

=>\(\frac{OE}{OH}=\frac{OM}{OK}\)

=>\(OE\cdot OK=OH\cdot OM\)

=>\(OE\cdot OK=OC^2\)

=>\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\)

Xét ΔOEC và ΔOCK có

\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\)

góc EOC chung

Do đó: ΔOEC~ΔOCK

=>\(\hat{OEC}=\hat{OCK}\)

=>\(\hat{OCK}=90^0\)

=>KC là tiếp tuyến của (O) tại C(3)

Xét ΔOCK và ΔODK có

OC=OD

\(\hat{COK}=\hat{DOK}\)

OK chung

Do đó: ΔOCK=ΔODK

=>\(\hat{OCK}=\hat{ODK}\)

=>\(\hat{ODK}=90^0\)

=>KD là tiếp tuyến của (O) tại D(4)

Từ (3),(4) suy ra các tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AB

.