Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)

cậu chia từng câu ra cho mình nhé

Câu 1:

[x - 3] + [x - 2] + [x - 1] + ... + [x + 5] = 0

x - 3 + x - 2 + x - 1 + ...+ x + 4 + x + 5 = 0

[x + x + x + x +...+ x] - [3 + 2 + 1+ .. - 4 - 5] = 0

Xét dãy số: 3; 2; 1;...; -5

Dãy số trên có số số hạng là: (-5 - 3) : (-1) + 1 = 9

Tổng dãy số trên là:[-5 + 3] x 9 : 2 = - 9

9x - (-9) = 0

9x = 9

x = 9 : 9

x = 1

Vậy x = 1

Sửa đề.

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{x}+\frac{2^2}{y}\ge\frac{\left(1+2\right)^3}{x+y}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=1; y=2