Lời giải:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI})\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MI}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AM}.\frac{-\overrightarrow{AM}}{2}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}.\overrightarrow{BC}=\frac{BC^2-AM^2}{2}\)

\(=\frac{BC^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}BC)^2}{2}=\frac{BC^2}{8}=\frac{9a^2}{8}\)

\(\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}\right|=\left|\overrightarrow{IA}\right|=IA=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

a: Sửa đề: Chứng minh ΔAIB~ΔABC

Xét ΔAIB và ΔABC có

\(\hat{AIB}=\hat{ABC}\)

góc BAI chung

Do đó: ΔAIB~ΔABC

b: Sửa đề; BD=3cm

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{3}{CD}=\frac58\)

=>\(CD=3\cdot\frac85=\frac{24}{5}=4,8\)

Cạnh nào bằng 8 vậy bạn?

Các cạnh đều = 8 á

câu a bài 2 nhá

a) Gọi D là trung điểm BI => góc IDM = 45 độ
DM // IC ( đường trung bình )
=> góc BIC = 135 độ
=> 180 -1/2( góc B + góc C ) =135 độ
=> góc B + góc C = 90 độ
=> góc A = 90 độ

a: Ta có: \(BD=DA=\frac{BA}{2}\)

\(BE=EC=\frac{BC}{2}\)

mà BA=BC

nên BD=DA=BE=EC

Xét ΔBEA và ΔBDC có

BE=BD

\(\hat{EBA}\) chung

BA=BC

Do đó: ΔBEA=ΔBDC

b: ΔBEA=ΔBDC

=>EA=DC

Xét ΔBAC có

AE,CD là các đường trung tuyến

AE cắt CD tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔBAC

=>\(AI=\frac23AE;CI=\frac23CD\)

mà AE=CD

nên IA=IC

=>ΔIAC cân tại I

c: Xét ΔABC có

I là trọng tâm

M là giao điểm của BI và AC

Do đó: M là trung điểm của AC

=>\(MA=MC=\frac{AC}{2}=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔBAC cân tại B

mà BM là đường trung tuyến

nên BM⊥AC tại M

ΔBMC vuông tại M

=>\(BM^2+MC^2=BC^2\)

=>\(BM^2=8^2-3^2=64-9=55\)

=>\(BM=\sqrt{55}\) (cm)

Xét ΔBAC có

I là trọng tâm

BM là đường trung tuyến

Do đó: \(MI=\frac13MB=\frac{\sqrt{55}}{3}\) (cm)

a: Ta có: ΔBAG cân tại B

mà BI là đường trung tuyến

nên BI là đường phân giác