Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Lấy điểm E , thuộc (O) sao cho AE<EB, điểm F thuộc cung nhỏ BE ( F khác B và E ). Gọi C là giao điểm của AE và BF , H làgiao điểm của AF và BE , D là giao điểm của CH và AB .a) Chứng minh các tứ giác CEHF , CEDB nội tiếp.b) Chứng minh CE.CA=CF.CB c) Chứng minh rằng khi các điểm E , F di chuyển trên (O) (thỏa mãn đề bài) thì tổng BH.BE+AE.AC không thay...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Lấy điểm E , thuộc (O) sao cho AE<EB
, điểm F thuộc cung nhỏ BE ( F khác B và E ). Gọi C là giao điểm của AE và BF , H là
giao điểm của AF và BE , D là giao điểm của CH và AB .
- a) Chứng minh các tứ giác CEHF , CEDB nội tiếp.
- b) Chứng minh CE.CA=CF.CB
- c) Chứng minh rằng khi các điểm E , F di chuyển trên (O) (thỏa mãn đề bài) thì tổng BH.BE+AE.AC không thay đổi.
a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó; ΔAEB vuông tại E
=>BE⊥AC tại E
Xét (O) có
ΔAFB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔFAB vuông tại F
=>AF⊥BC tại F
Xét tứ giác CEHF có \(\hat{CEH}+\hat{CFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHF là tứ giác nội tiếp
Xét ΔCAB có
AF,BE là các đường cao
AF cắt BE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔCAB
=>CH⊥AB tại D
Xét tứ giác BDEC có \(\hat{BDC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BDEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có
\(\hat{ECB}\) chung
Do đó: ΔCEB~ΔCFA
=>\(\frac{CE}{CF}=\frac{CB}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CF\cdot CB\)
c: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEA vuông tại E có
\(\hat{DBH}\) chung
do đó: ΔBDH~ΔBEA
=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BA}\)
=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BA\)
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có
\(\hat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔADC
=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AD\cdot AB\)
\(BH\cdot BE+AE\cdot AC\)
\(=BD\cdot BA+AD\cdot BA=BA^2=4R^2\) không đổi