I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

+ Phân thức: mẫu số khác $0$;

+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;

+ Hàm số lượng giác.

2. Sự biến thiên

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

Tính đạo hàm $y'$;

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định;

Xét dấu đạo hàm $y'$ suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

3. Đồ thị

+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;

+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;

+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có). 

II. Khảo sát hàm số bậc ba dạng $y=ax^3+bx^2+cx+d$, $(a \ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát hàm số $y=-x^3+3x^2-4x+2$

1) Tập xác định $\mathbb R$.

2) Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

Ta có $y' = -3(x-1)^2-1 < 0,$ $\forall x \in \mathbb R.$

+ Giới hạn tại vô cực:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[-x^3\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

+ Bảng biến thiên

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(1;0)$.

Đồ thị của hàm số đã cho là

Dạng đồ thị các hàm số dạng $y=ax^3+bx^2+cx+d$, $(a\ne 0)$

III. Khảo sát hàm số trùng phương dạng $y= ax^4+bx^2+c$, $(a\ne 0)$

IV. Khảo sát hàm số phân thức dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $(cx+d \ne 0; ad-bc \ne 0)$

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

+ Phân thức: mẫu số khác $0$;

+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;

+ Hàm số lượng giác.

2. Sự biến thiên

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

Tính đạo hàm $y'$;

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định;

Xét dấu đạo hàm $y'$ suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

3. Đồ thị

+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;

+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;

+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có). 

II. Khảo sát hàm số bậc ba dạng $y=ax^3+bx^2+cx+d$, $(a \ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát hàm số $y=-x^3+3x^2-4x+2$

1) Tập xác định $\mathbb R$.

2) Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

Ta có $y' = -3(x-1)^2-1 < 0,$ $\forall x \in \mathbb R.$

+ Giới hạn tại vô cực:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[-x^3\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

+ Bảng biến thiên

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(1;0)$.

Đồ thị của hàm số đã cho là

Dạng đồ thị các hàm số dạng $y=ax^3+bx^2+cx+d$, $(a\ne 0)$

III. Khảo sát hàm số trùng phương dạng $y= ax^4+bx^2+c$, $(a\ne 0)$

IV. Khảo sát hàm số phân thức dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $(cx+d \ne 0; ad-bc \ne 0)$