Câu hỏi của Đỗ Minh Tùng

Question

Cho em hỏi bài này:
Cho tam giác ABC. D là trung điểm BC. Gọi (O) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B, (O...

huỳnh anh · Accepted Answer

Gọi $E , F$ lần lượt là tâm của $\left(\right. O \left.\right)$ và $\left(\right. O^{'} \left.\right)$.

Vì $\left(\right. O \left.\right)$ tiếp xúc với $A B$ tại $B$ nên

$E B \bot A B .$

Tương tự,

$F C \bot A C .$

Mặt khác $D$ là trung điểm của $B C$, lại có $B , C , D$ thẳng hàng nên trong tam giác vuông $E B D$:

$E B^{2} = B D \cdot B C .$

Mà $B D = D C = \frac{B C}{2}$, suy ra

$E B = B D .$

Do đó tam giác $E B D$ vuông cân tại $B$, suy ra

$\angle B D E = 45^{\circ} .$

Tương tự, tam giác $F C D$ vuông cân tại $C$, nên

$\angle C D F = 45^{\circ} .$

Vì $M \in \left(\right. O \left.\right) \cap \left(\right. O^{'} \left.\right)$ nên

$E M = E D , F M = F D .$

Suy ra $E$ và $F$ cùng nằm trên đường trung trực của $D M$. Do đó

$E F \bot D M .$

Mặt khác:

$D E$ tạo với $B C$ góc $45^{\circ}$,
$D F$ cũng tạo với $B C$ góc $45^{\circ}$ ở phía kia.

Suy ra $E F \parallel B C$. Vì $E F \bot D M$ nên

$D M \bot B C .$

Gọi $M^{'}$ là điểm đối xứng của $M$ qua $B C$. Vì $D M \bot B C$ và $D \in B C$, nên $D$ là trung điểm của $M M^{'}$. Do đó

$D M^{'} = D M .$

Ta sẽ chứng minh $A , D , M^{'}$ thẳng hàng.

Đặt hệ trục sao cho:

$B \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , A \left(\right. 0 , a \left.\right) \&\text{nbsp}; \left(\right. a > 0 \left.\right) .$

Khi đó:

đường thẳng $A B$: $y = a \left(\right. x + 1 \left.\right)$,
đường thẳng $A C$: $y = a \left(\right. 1 - x \left.\right)$.

Do $\left(\right. O \left.\right)$ tiếp xúc $A B$ tại $B$ và đi qua $D$, tâm $E$ nằm trên:

trung trực của $B D$: $x = - \frac{1}{2}$,
đường vuông góc với $A B$ tại $B$.

Từ đó tính được

$E \left(\right. - \frac{1}{2} , \frac{1}{2 a} \left.\right) .$

Tương tự

$F \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2 a} \left.\right) .$

Vậy $E F$ là đường thẳng

$y = \frac{1}{2 a} .$

Do $D M \bot E F$, nên $D M$ là trục tung $x = 0$.

Lại vì $M \in \left(\right. O \left.\right)$, thay $x = 0$ vào phương trình $\left(\right. O \left.\right)$ thu được

$M \left(\right. 0 , \frac{1}{a} \left.\right) .$

Suy ra điểm đối xứng của $M$ qua $B C$ là

$M^{'} \left(\right. 0 , - \frac{1}{a} \left.\right) .$

Mà

$A \left(\right. 0 , a \left.\right) , D \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , M^{'} \left(\right. 0 , - \frac{1}{a} \left.\right)$

đều có hoành độ bằng $0$, nên thẳng hàng.

Vậy $M^{'} , A , D$ thẳng hàng.

Câu trả lời: