Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\({}\)
a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\)
\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)
\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))
Vậy \(IE\perp ME\)
b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)
Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).
c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP
\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)
\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)
Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)
a: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó; ΔABN vuông tại B
=>BA⊥BN
mà CH⊥BA
nên CH//BN
Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>AC⊥CN
mà BH⊥AC
nên BH//CN
Xét tứ giác BHCN có
BH//CN
BN//CH
Do đó: BHCN là hình bình hành
=>CB cắt HN tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của CB
nên M là trung điểm của HN
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)
Xét ΔAHN có
AM là đường trung tuyến
\(AG=\frac23AM\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHN
Xét ΔAHN có
G là trọng tâm
O là trung điểm của AN
DO đó: H,G,O thẳng hàng
c: Xét (O) có
\(\hat{BQA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA
=>\(\hat{BQA}=\hat{BCA}\)
mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)
nên \(\hat{BHQ}=\hat{BQH}\)
=>ΔBHQ cân tại B
mà BC là đường cao
nên BC là đường trung trực của HQ
=>H đối xứng Q qua BC
Xét (O) có
\(\hat{APB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB
=>\(\hat{APB}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{ACB}=\hat{AHE}\left(=90^0-\hat{HAE}\right)\)
nên \(\hat{AHP}=\hat{APH}\)
=>ΔAPH cân tại A
ΔAPH cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là đường trung trực của PH
=>P đối xứng H qua AC
Xét (O) có
\(\hat{CRA};\hat{CBA}\) là các góc nội tiếp chắn cung CA
=>\(\hat{CRA}=\hat{CBA}\)
mà \(\hat{CBA}=\hat{AHF}\left(=90^0-\hat{HAF}\right)\)
nên \(\hat{ARH}=\hat{AHR}\)
=>ΔAHR cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là đường trung trực của HR
=>H đối xứng R qua AB
d: Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)
mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)
nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//EF
Ax//FE
OA⊥ Ax
Do đó: OA⊥ FE
Ta có: ΔEAH vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)
mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)
nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EO là đường trung tuyến
nên OE=OB
=>ΔOEB cân tại O
=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)
Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)
\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)
=>ΔIEO vuông tại E
Ta có: ΔAFH vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên FI=IH
=>FI=IE
=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)
Ta có: ΔBFC vuông tại F
mà FO là đường trung tuyến
nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)
mà EO=BC/2
nên FO=EO
=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF
=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE
Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao
nên \(IK\cdot IO=IE^2\)
=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)
=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)
thưc ra tui ko định trl đâu mà nhìn dài quá..... Xét tam giác AFH có : FI= \(\frac{AH}{2}\)\(\left(\ast\right)\) ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AFH ta được: \(FI^2=IK.IO\) (**)
từ (*) và (**) ta có \(\frac{AH^2}{4}=IK.IO\)
<=> \(AH^2=4IK.IO\)
1: góc ABP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>BP//CH
góc ACP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>CP//BH
mà BP//CH
nên BHCP là hình bình hành
=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HP
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.
Ta có ∠AEH=∠AFH=90o⇒∠AEH=∠AFH=90o⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính AH
⇒⇒ A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
⇒AEHF⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Ta có ∠BEC=∠BFC=90o⇒∠BEC=∠BFC=90o⇒ BCEF là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với (O)(O)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh ID2=IB.ICID2=IB.IC.
Xét ΔIBDΔIBD và ΔIDCΔIDC có:
∠I∠I chung
∠IDB=∠ICD∠IDB=∠ICD (ID là tiếp tuyến của (O)(O))
⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).
c) DE, DF cắt đường tròn (O)(O) tại M và N. Chứng minh NM // EF.
Xét ΔIBEΔIBE và ΔIFCΔIFC có:
∠I∠I chung
∠IEB=∠ICF∠IEB=∠ICF (BCEF là tứ giác nội tiếp)
⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF (kết hợp b)
⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID
Xét ΔIDFΔIDF và ΔIEDΔIED có:
∠I∠I chung
IDIE=IFID(cmt)IDIE=IFID(cmt)
⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED (2 góc tương ứng)
Mặt khác ∠IDF=∠NMD∠IDF=∠NMD (ID là tiếp tuyến của (O)(O)) ⇒∠IED=∠NMD⇒∠IED=∠NMD (tc)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒⇒ NM // EF.
Chứng minh CJ vuông góc với BI
Kết luận: CJ vuông góc với BI.