Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(x=99\Rightarrow x+1=100\)
\(\Leftrightarrow P\left(99\right)=x^{99}-\left(x+1\right)x^{98}+\left(x+1\right)x^{97}-...+\left(x+1\right)x-1\)
\(\Leftrightarrow x^{99}+x^{98}+x^{97}+...+x^2+x-1\)
\(\Leftrightarrow x-1\) Thay x = 99 vào x - 1 ta có
\(\Leftrightarrow P\left(99\right)=99-1=98\)
= l ( 99 + -99 ) + ( -98 + 98 ) +... + (-1+ 1 ) + -100l
= l 0 + 0 + .. + 0 + -100 l
= l -100l
= 100
Do x=99 nên \(x-99=0\)
Ta có:
\(P=x^{100}-100x^{99}+100x^{98}-100x^{97}+\cdots+100x^2-100x+2124\)
\(=\left(x^{100}-99x^{99}\right)-\left(x^{99}-99x^{98}\right)+\cdots+\left(x^2-99x\right)-\left(x-99\right)+2025\)
\(=x^{99}\left(x-99\right)-x^{98}\left(x-99\right)+\cdots+x\left(x-99\right)-\left(x-99\right)+2025\)
\(=x^{99}.0-x^{98}.0+\cdots+x.0-0+2025\)
\(=0+0+\cdots+0+2025=2025\)
Đề bài:
\(P = x^{100} - 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots - 100 x + 2124\)
với \(x = 99\). Tính giá trị \(P\).
Bước 1: Phân tích biểu thức
Biểu thức gồm:
- \(x^{100}\)
- Các số hạng có dạng \(\pm 100 x^{k}\) với \(k = 99 , 98 , 97 , . . . , 1\)
- Hằng số \(2124\)
Nhìn kỹ, các số hạng từ \(x^{99}\) đến \(x\) đều có hệ số \(- 100\) hoặc \(+ 100\) xen kẽ dấu âm dương.
Bước 2: Viết lại biểu thức rõ ràng hơn
Ta có thể tách biểu thức như sau:
\(P = x^{100} + \sum_{k = 99 , 97 , 95 , . . .}^{1} 100 x^{k} - \sum_{k = 99 , 98 , 96 , 94 , . . .}^{2} 100 x^{k} + 2124\)
Nhưng câu hỏi có dấu trừ \(- 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots\), tức dấu thay đổi từng số hạng.
Cụ thể:
- Số hạng thứ 1: \(x^{100}\)
- Số hạng thứ 2: \(- 100 x^{99}\)
- Số hạng thứ 3: \(+ 100 x^{98}\)
- Số hạng thứ 4: \(- 100 x^{97}\)
- ... cứ thế tiếp tục xen kẽ dấu âm dương cho đến \(- 100 x\)
- Cuối cùng cộng \(2124\)
Bước 3: Tách tổng thành hai phần:
Gọi
\(S = \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} 100 x^{100 - k}\)
Ta có:
\(P = x^{100} + S + 2124\)
Bước 4: Viết \(S\) như sau:
\(S = 100 \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} x^{100 - k} = 100 \sum_{m = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{m} x^{100 - m}\)
Thay đổi chỉ số:
Gọi \(j = 100 - m\), khi \(m = 1 \Rightarrow j = 99\), khi \(m = 99 \Rightarrow j = 1\)
Vậy:
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} x^{j}\)
Nhưng \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{100} \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = 1 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\) (vì \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\)).
Nên:
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} x^{j}\)
Bước 5: Thay \(x = 99\):
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j}\)
Bước 6: Tính tổng:
\(\sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j} = - 99 + 99^{2} - 99^{3} + 99^{4} - \hdots + \left(\right. - 1 \left.\right)^{99} 99^{99}\)
Bước 7: Nhận xét
Đây là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu:
\(a_{1} = - 99\)
Tỷ số công:
\(r = - 99\)
Số hạng tổng:
\(n = 99\)
Tổng của cấp số nhân:
\(S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 + 99} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100}\)
Bước 8: Tính \(S\):
\(S = 100 \times S_{n} = 100 \times \left(\right. \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100} \left.\right) = - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right)\)
Bước 9: Tính \(P\):
\(P = x^{100} + S + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right) + 2124\)
Bước 10: Chú ý về dấu lũy thừa \(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99}\):
\(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99} = - \left(\right. 99 \left.\right)^{99}\)
Vậy:
\(P = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - \left(\right. 99 \left.\right)^{99} \left.\right) \left.\right) + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 + 99^{99} \left.\right) + 2124\)
Bước 11: Phân tích thêm
\(P = 99^{100} - 99 - 99 \times 99^{99} + 2124 = 99^{100} - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124\)
Bước 12: Nhận xét
Lưu ý:
\(99^{100} = 99 \times 99^{99}\)
Nên:
\(P = \left(\right. 99 \times 99^{99} \left.\right) - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124 = 0 - 99 + 2124 = 2124 - 99 = \boxed{2025}\)
Kết luận:
\(\boxed{P = 2025}\)
a, tai x = 5 va y =2
x^2y +5xy^2 = 5^2 . 2 + 5 . 5 . 2^2 = 150
Ta có 100=99+1 hay x+1
Thay x+1 vào P(99) .Ta có :\(x^{99}-\left(x+1\right)x^{98}+\left(x+1\right)x^{97}-..................+\left(x+1\right)x-1\)=\(x^{99}-x^{99}-x^{98}+x^{98}+x^{97}-.............+x^2+x-1\) =\(\left(x^{99}-x^{99}\right)-\left(x^{98}-x^{98}\right)+\left(x^{97}-x^{97}\right)-.........+\left(x^2-x^2\right)+x-1^{ }\)
=x-1=99-1=98
\(P\left(x\right)=x^{99}-100x^{98}+100x^{97}-...+100x-1\)
\(P\left(99\right)=99^{99}-100\cdot99^{98}+100\cdot99^{97}-...+100\cdot99-1\)
\(P\left(99\right)=99^{99}-\left(99+1\right)\cdot99^{98}+\left(99+1\right)\cdot99^{97}-...+\left(99+1\right)\cdot99-1\)
\(P(99)= 99^{99}-99^{99}-99^{98}+99^{98}+99^{97}-99^{97}-99^{96}+...+99^2+99-1\)
\(P\left(99\right)=99-1=98\)
\(f\left(x\right)=x^{99}-100x^{98}+100x^{97}-...+100x-1\)
\(f\left(99\right)=99^{99}-100\cdot99^{98}+100\cdot99^{97}-...+100\cdot99-1\)
\(f\left(99\right)=99^{99}-\left(99+1\right)\cdot99^{98}+\left(99+1\right)\cdot99^{97}-...+\left(99+1\right)\cdot99-1\)
\(f(99)= 99^{99}-99^{99}-99^{98}+99^{98}+99^{97}-99^{97}-99^{96}+...+99^2+99-1\)
\(f\left(99\right)=99-1=98\)
x=99
=>x+1=100
thay x+1=100 và 99=x vào B ta được:
x99-(x+1).x98+(x+1).x97-(x+1).x96+...+(x+1).x-1
=x99-x99-x98+x98+x97-x97-x96+...+x2+x-1
=x-1
=99-1
=98
Vậy B=98
Đề bài yêu cầu tính P(99), nghĩa là x = 99. Trong đa thức, các hệ số đứng trước các lũy thừa của x (trừ x^99 và số hạng tự do -1) đều là số 100.
Ta nhận thấy: 100 = 99 + 1. Vì x = 99 nên ta có thể viết 100 = x + 1. Bước 2: Thay thế số 100 bằng biểu thức chứa x
Thay tất cả các số 100 trong đa thức bằng (x + 1), ta có:
P(x) = x^99 - (x + 1)x^98 + (x + 1)x^97 - (x + 1)x^96 + ... + (x + 1)x - 1 Bước 3: Thực hiện phép nhân phân phối để phá ngoặc
Ta nhân x vào trong từng ngoặc (x + 1):
- (x + 1)x^98 = x^99 + x^98
- (x + 1)x^97 = x^98 + x^97
- (x + 1)x^96 = x^97 + x^96
- (x + 1)x = x^2 + x
Bước 4: Viết lại đa thức sau khi nhân và phá ngoặc... và cứ tiếp tục như vậy cho đến:
Lưu ý dấu trừ đứng trước các ngoặc sẽ làm đổi dấu các hạng tử bên trong:
P(x) = x^99 - (x^99 + x^98) + (x^98 + x^97) - (x^97 + x^96) + ... + (x^2 + x) - 1
P(x) = x^99 - x^99 - x^98 + x^98 + x^97 - x^97 - x^96 + ... + x^2 + x - 1 Bước 5: Rút gọn các cặp hạng tử đối nhau
Bạn sẽ thấy một quy luật triệt tiêu liên tiếp:
- x^99 trừ x^99 bằng 0.
- -x^98 cộng x^98 bằng 0.
- x^97 trừ x^97 bằng 0.
Bước 6: Thay giá trị cụ thể của x vào kết quả đã rút gọnQuy luật này kéo dài liên tục cho đến tận x^2. Sau khi tất cả các cặp này triệt tiêu, đa thức chỉ còn lại hai số hạng cuối cùng là:
P(x) = x - 1
Với x = 99, ta có:
P(99) = 99 - 1 = 98 Vậy giá trị cuối cùng của biểu thức là 98.
x=99
=>x+1=100
\(P=x^{99}-100x^{98}+100x^{97}-\cdots+100x-1\)
\(=x^{99}-x^{98}\left(x+1\right)+x^{97}\left(x+1\right)-\cdots+x\left(x+1\right)-1\)
\(=x^{99}-x^{99}-x^{98}+x^{98}+\cdots+x^2+x-1\)
=x-1
=99-1
=98