Câu hỏi của Minkhuee Zibzidi

Question

Cho △ ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a). Chứng minh...

Hung duy · Accepted Answer

a) Xét hai tam giác $\triangle M A D$ và $\triangle M D C$

Ta có:

$M A = M D$ (giả thiết)
$M C = M B$ (vì $M$ là trung điểm của $B C$)
$\angle A M D = \angle D M C$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ $\triangle M A D = \triangle M D C$ (c.g.c) b) Gọi $K$ là trung điểm của $A C$, chứng minh $K B = K D$

Từ giả thiết:

$M$ là trung điểm của $A D$ và $B C$

⇒ Hai đường chéo $A D$ và $B C$ cắt nhau tại trung điểm
⇒ Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành

Trong hình bình hành:

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ $A C$ và $B D$ cắt nhau tại trung điểm

Vì $K$ là trung điểm của $A C$ ⇒ $K$ cũng là trung điểm của $B D$

⇒ $K B = K D$

**c) Gọi $K D$ cắt $B C$ tại $I$, $K B$ cắt $A D$ tại $N$.

Chứng minh $\angle K N I = \angle K I N$**

Xét tam giác $K B D$:

$K B = K D$ ⇒ tam giác $K B D$ cân tại $K$

Các điểm:

$N \in K B$, $I \in K D$

⇒ $N$ và $I$ là hai điểm tương ứng trên hai cạnh của tam giác cân

Do tính đối xứng của tam giác cân:
⇒ $K N = K I$

⇒ Tam giác $K N I$ cân tại $K$

⇒ $\angle K N I = \angle K I N$

d) Gọi $H$ là trung điểm của $N I$, chứng minh $M , H , K$ thẳng hàng

Trong tam giác $K N I$:

$K N = K I$ ⇒ tam giác cân tại $K$
$H$ là trung điểm $N I$

⇒ $K H$ là trung tuyến đồng thời là đường trung trực của $N I$

Mặt khác:

$M$ là trung điểm của $A D$ và $B C$ ⇒ là tâm đối xứng của hình bình hành $A B C D$

⇒ $M$ nằm trên trục đối xứng của tam giác $K N I$

⇒ $M , H , K$ thẳng hàng

Câu trả lời: