Số cuối cùng còn lại trên bảng không thể là số

bạn tham khảo dạng ở link này nhé:

https://diendantoanhoc.net/topic/88451-tren-b%E1%BA%A3ng-cac-s%E1%BB%91-t%E1%BB%B1-nhien-t%E1%BB%AB-1-d%E1%BA%BFn-2012-ng%C6%B0%E1%BB%9Di-ta-lam-nh%C6%B0-sau-l%E1%BA%A5y-ra-2-s%E1%BB%91-b%E1%BA%A5t-ki-thay-b%E1%BA%B1ng-hi%E1%BB%87u-c%E1%BB%A7a-chung-c%E1%BB%A9-lam-nh%C6%B0-v%E1%BA%ADy-d/

bạn có nghĩ không copy đc thì sẽ có thằng rảnh đến nỗi chép cái này ra

Giải:

+) Cứ mỗi bước xóa 2 số thêm 1 số  nghĩa là sẽ mất đi một số. Thực hiện 2019 lần theo quy tắc trên thì sẽ còn lại duy nhất 1 số

+) Dễ thấy trong 2020 phân số trên có số 1010/2020 = 1/2

+) Khi các em xóa đến một số bất kì x khác 1/2 thuộc dãy 2020 phân số đó và số 1/2 thì số mới xuất hiện sẽ là: 1/2 + x  - 2.1/2 .x = 1/2

Như vậy các e xóa đủ 2019 lần thì vẫn  chỉ còn số 1/2

Ta gọi phép thay thế hai số \(a , b\) thành \(a + b - 2 a b\) là một phép toán \(\star\). Xét biểu thức:

\(a \star b = a + b - 2 a b\)

Ta biến đổi:

\(1 - \left(\right. a \star b \left.\right) = 1 - a - b + 2 a b = \left(\right. 1 - a \left.\right) \left(\right. 1 - b \left.\right)\)

Đặt \(A = 1 - x\), ta thấy rằng khi thực hiện phép toán, giá trị \(A\) mới bằng tích của hai giá trị \(A\) cũ. Do đó, tích các giá trị \(A = 1 - x\) là một đại lượng bất biến trong toàn bộ quá trình.

Ban đầu, dãy số gồm:

\(\frac{1}{2020} , \frac{2}{2020} , \ldots , \frac{2020}{2020}\)

Tương ứng, các giá trị bất biến là:

\(1 - \frac{1}{2020} , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2020}{2020} = \frac{2019}{2020} , \&\text{nbsp}; \frac{2018}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 0\)

Vì có một giá trị bằng 0, nên tích các giá trị bất biến ban đầu bằng 0. Do tích này không đổi, nên sau 2019 lần biến đổi, chỉ còn lại một số duy nhất \(x\), thỏa mãn:

\(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)

Kết luận: Số còn lại trên bảng là \(\boxed{1}\).

 Gọi phép xóa thêm 1 dấu (+) khi xóa 2 dấu (-) là phép xóa A. 
Gọi phép xóa thêm 1 dấu (+) khi xóa 2 dấu (+) là phép xóa B. 
Gọi phép xóa thêm 1 dấu (-) khi xóa 2 dấu khác nhau là phép xóa C . 

=>Nhận xét : A làm tăng 1 (+) và giảm 2(-) .B làm giảm 1(+) .C làm giảm 1(+). 

_Gọi số phép xóa A,B,C lần lượt là : x,y,z ,ta có : 

x + y + z = 24 , 2.x nhỏ hơn hoặc bằng 15 , y + z - x nhỏ hơn hoặc bằng 10 . 

=>(x + y + z ) - (y + z - x ) lớn hơn hoặc bằng 14 => 2.x lớn hơn hoặc bằng 14 .Vậy x = 7. 
=> y + z = 17. 

=> số lượng dấu (+) còn lại là : 10 - (y + z - x ) = 0 . 
=> số lượng dấu (-) còn lại là : 15 - 2.x = 1 . 

Vậy sau 24 phép xóa còn lại dấu (-). 

Tích của 10 dấu cộng và 15 dấu trừ là âm 
_Tích của hai dấu cùng âm hoặc cùng dương là dương nên thay hai dấu cùng âm (cùng dương) bằng dấu cộng thì tích các dấu trên bảng không thay đổi.(ở đây chỉ giá trị âm hay dương) 
_Ngược lại, tích của hai dấu đối nhau là âm nên thay dấu trừ cho hai dấu đối chau thì lẽ dĩ nhiên, tích cũng không thay đổi. 
_Có nghĩa là với mọi trường hợp xóa hai dấu và thay vào một dấu khác thì tích các dấu trên bảng cũng không thay đổi. Mặt khác, mỗi lần xóa và thay dấu mới, số lượng dấu trên bảng giảm đi một. Vậy sau 24 lần thực hiện như vậy, trên bảng chỉ còn lại một dấu duy nhất, dấu này có giá trị âm, vậy sẽ là dấu trừ. 
Mình giải chính xác đi wá chớ>_<