(tự vẽ hình )

câu 4:

 a) có AB² + AC² = 225

BC² = 225

Pytago đảo => \(\Delta ABC\)vuông tại A

b) Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta MDC\)

MA = MD (gt)

BM = BC ( do M là trung điểm của BC ) 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )

=> \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\) (cgc)

c) vì \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\)

=> \(\hept{\begin{cases}AB=DC\\\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\end{cases}}\)

=> AB// DC

lại có AB \(\perp\)AC => DC \(\perp\)AC => \(\Delta KCD\)vuông tại C

Xét \(\Delta\) vuông ABK và \(\Delta\)vuông KCD:

AB =CD (cmt)

AK = KC ( do k là trung điểm của AC )

=> \(\Delta\)vuông AKB = \(\Delta\)vuông CKD (cc)

=> KB = KD

d. do KB = KD => \(\Delta KBD\)cân tại K

=> \(\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)(1)

có \(\Delta ADC\)vuông tại C => \(AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=15\)

=> MD = 7.5

mà MB = 7.5

=> MB = MD 

=> \(\Delta MBD\)cân tại M

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{KBD}-\widehat{MBD}=\widehat{KDB}-\widehat{MDB}\)hay \(\widehat{KBM}=\widehat{KDM}\)

Xét \(\Delta KBI\)và \(\Delta KDN\)có:

\(\widehat{KBI}=\widehat{KDN}\)(cmt)

\(\widehat{KBD}\)chung

KD =KB (cmt) 

=> \(\Delta KBI\)= \(\Delta KDN\)(gcg)

=> KN =KI 

=. đpcm

câu 5: 

a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta MDC\):

MA=MD(gt)

MB=MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMA=\Delta CMD\)(cgc)

b) Xét \(\Delta\)vuông ABC 

có AM là đường trung tuyến của tam giác 

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\)mà \(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)(do M là trung điểm của BC )

=> AM = BM = MC 

có MA =MD => AM = MD =MB =MC

=> BM +MC = AM +MD hay BC =AD

Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta DCA\)

AB =DC

AC chung

BC =DC

=> \(\Delta BAC\)= \(\Delta DCA\)(ccc)

c. Xét \(\Delta ABM\)

BM=AM

\(\widehat{ABM}\)= 60⁰

^{=> đpcm}

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\) (BD là phân giác của góc ABE)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)

=>\(\hat{BED}=90^0\)

=>DE⊥BC

mà AH⊥BC

nên DE//AH

c: Xét ΔMHA và ΔMDK có

MH=MD

\(\hat{MHA}=\hat{MDK}\) (hai góc so le trong, HA//DK)

HA=DK

Do đó: ΔMHA=ΔMDK

=>\(\hat{HMA}=\hat{DMK}\)

mà \(\hat{HMA}+\hat{AMD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMD}+\hat{DMK}=180^0\)

=>A,M,K thẳng hàng

Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi trong bài toán này.

Câu a) Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và AD = ED

• Điều kiện:
• • ∆ABC vuông tại A (AB < AC).
  • Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
  • Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
  • Vẽ AH BC tại H.
• Chứng minh:

1. Xét các tam giác ∆ABD và ∆EBD:
   Vậy, theo Tiêu chuẩn góc-cạnh-góc (Axiom SAS), ta có:
   \(\Delta A B D = \Delta E B D\)
2. • Cả hai tam giác ∆ABD và ∆EBD có cạnh chung BD.
   • AB = BE (do đề bài cho BE = BA).
   • Góc ABD = Góc EBD (vì tia BD là tia phân giác của góc ABC, nên hai góc này bằng nhau).
3. Kết luận AD = ED:
4. • Do ∆ABD = ∆EBD (theo chứng minh trên), nên các cạnh tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau.
   • Vậy, AD = ED.

Câu b) Chứng minh AH // DE

1. Xét đoạn AH và DE:
2. • Từ điều kiện bài toán, chúng ta có điểm H là giao điểm của đường vuông góc AH với cạnh BC, tức là AH ⊥ BC.
   • Tia DE được dựng sao cho DE là một đoạn thẳng trong cùng một mặt phẳng với BC, và điểm D là điểm phân giác của góc B.
3. Chứng minh AH // DE:
4. • Vì ∆ABD = ∆EBD (chứng minh ở câu a) nên các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau. Đặc biệt, ∠BAD = ∠BED.
   • Ta có AH ⊥ BC và ∠BAD = ∠BED. Do đó, theo tính chất của góc tạo thành giữa đường vuông góc và đoạn thẳng, ta suy ra rằng AH // DE.

Câu c) Chứng minh A, M, K thẳng hàng

1. Định nghĩa các điểm:
2. • Trên tia DE, lấy điểm K sao cho DK = AH.
   • M là trung điểm của DH, tức là:
     \(\text{DM} = \text{MH}\)
3. Chứng minh A, M, K thẳng hàng:
4. • Ta đã biết rằng AH // DE, và từ câu b) đã chứng minh rằng AH và DE song song.
   • M là trung điểm của DH, tức là DM = MH. Đồng thời, ta có DK = AH (theo giả thiết).
   • Vì AH // DE và M là trung điểm của DH, ta có thể sử dụng tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác vuông để suy ra rằng các điểm A, M, K nằm trên cùng một đường thẳng.

Kết luận:

1. a) ∆ABD = ∆EBD và AD = ED.
2. b) AH // DE.
3. c) A, M, K thẳng hàng.

Bài 1) .

Ta có : AB =AC ( gt)

=> ∆ABC cân tại A 

=> B = C 

Xét ∆ ABE và ∆ ACD ta có 

AD = DE ( gt)

AB = AC ( gt)

B = C ( cmt)

=> ∆ABE = ∆ACD ( c.g.c)

=> EAB = DAC (dpcm)

b) Vì M là trung điểm BC

=> BM = MC 

Mà ∆ABC cân tại A ( cmt)

=> AM là trung tuyến ∆ABC 

=> AM là trung tuyến đồng thời là đường cao và phân giác ∆ABC 

Mà D,E thuộc BC 

AM vuông góc với DE 

Mà ∆ADE cân tại A ( AD = AE )

=> AM là đường cao đồng thời là phân giác và trung tuyến ∆ ADE 

=> AM là phân giác DAE 

c) Vì AM là phân giác DAE 

=> DAM = EAM = 60/2 = 30 độ

= > Mà AM vuông góc với DE (cmt)

=> AME = AMD = 90 độ

=> AME + MAE + AEM = 180 độ

=> AEM = 180 - 90 - 30 = 60 độ

Mà ∆ADE cân tại A 

=> ADE = AED = 60 độ

Bài 2)

Trong ∆ABC có A = 90 độ

=> BAC = 90 độ :))))))

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC
c: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC
Ta có: AB//DC

AB⊥CA

Do đó: CD⊥CA
d: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=CD

Xét ΔDCA vuông tại C và ΔBAC vuông tại A có

DC=BA

CA chung

Do đó: ΔDCA=ΔBAC

=>DA=BC

=>BC=2AM

Xét ΔDCA có DC+CA>DA

=>AB+CA>2AM

=>\(AM<\frac{AB+AC}{2}\)

câu a hơi kì nhỉ , theo mk thì phải là tam giác ABM = tam giác DCM chứ

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\)có :

AM=DM ( gt )

BM=MC ( gt )

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\) ( 2 góc đối đỉnh )

do đó \(\Delta ABM\) = \(\Delta DCM\) ( c.g.c )

b) Vì \(\Delta ABM=\Delta DCM\)( c/m trên )

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) ( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

nên AB // BC

tu ve hinh :

a, xet tamgiac MBA va tamgiac MDC co :

goc BMA = goc DMC (doi dinh)

BM = CM do M la trung diem cua BC (GT)

MA = MD (GT)

=> tamgiac MBA = tamgiac MDC (c - g - c)

=> AB = DC (dn) 

tamgiac MBA = tamgiac MDC => goc CDM = goc MAB ma 2 goc nay slt

=> AB // CD (dh)

b, co tamgiac ABC vuong tai A => AB | AC (dn) ; AB // DC (cau a)

=> AC | DC (dl) => tamgiac ACD vuong tai C (dn) 

tamgiac MBA = tamgiac MDC => AB = CD (dn)

goc BAC = goc DCA = 90^o do tamgiac ABC vuong tai A va tamgiac DCA vuong tai C

xet tamgiac ACB va tamgiac CAD co AC chung

=> tamgiac ACB = tamgiac CAD (2cgv)

=> BC = AD (dn)

M la trung diem cua BC => M la trung diem cua AD => AM = AD/2 (tc)

=> AM = BC/2

cần gấp ạ