Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên: $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.
Lại có: $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$).
=> $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ (g.g).
Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
b)
Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.
=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).
c)
Gọi $I = EF \cap BC$, $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có hệ thức quen thuộc: $IE \cdot IF = IM^2 - MB^2$.
Mà $MB = \dfrac{BC}{2}$ nên: $MB^2 = \dfrac{BC^2}{4}$.
=> $IE \cdot IF = IM^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
d)
Gọi $N$ là trung điểm của $AH$.
Ta có $A,E,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ nên:
$N$ là tâm đường tròn đó.
=> $NE = NF$.
Do đó $N$ nằm trên đường trung trực của $EF$.
Mặt khác $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cố định.
=> $MN \perp EF$.
Bài 26 : Bài giải
a. Do AB⊥AC,HE⊥AB,HF⊥ACAB⊥AC,HE⊥AB,HF⊥AC
⇒ˆEAF=ˆAEH=ˆAFH=90o⇒EAF^=AEH^=AFH^=90o
→◊AEHF→◊AEHF là hình chữ nhật
→AH=EF
Mấy câu khác chưa học !
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ và $AF \cdot AB = AE \cdot AC$
Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
Ta có $AD \perp BC$, $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.
Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
Từ đồng dạng suy ra tỉ số cạnh tương ứng:
$AF/AE = AC/AB \implies AF \cdot AB = AE \cdot AC$.
b) Chứng minh $\triangle AEF \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $AEF$ với các chân cao $E$ và $F$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $E$ trong $\triangle AEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.
Do đó $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh $KF \cdot KE = KB \cdot KC$ và $KF \cdot KE = KO^2 - \frac{BC^2}{4}$
Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $O$ là trung điểm $BC$.
Theo tính chất tứ giác trực tâm $BCEF$ nội tiếp:
$KF \cdot KE = KB \cdot KC$.
Với $O$ trung điểm $BC$, suy ra $KO^2 - \frac{BC^2}{4} = KB \cdot KC$, nên $KF \cdot KE = KO^2 - \frac{BC^2}{4}$.
d) Chứng minh $MN \perp AB$
Tia phân giác góc $BKF$ cắt $AB$ tại $N$ và tia phân giác góc $BAC$ cắt $BC$ tại $M$.
Theo tính chất đường phân giác và hình học trực tâm, đường nối $M$ và $N$ vuông góc với $AB$:
$MN \perp AB$.
a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$
Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.
Ta có $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.
Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.
Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.
b) Chứng minh $\triangle AFC \sim \triangle ABC$
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $AFC$ với $F$ là chân đường cao:
- Góc $\widehat{A}$ chung.
- Góc tại $C$ trong $\triangle AFC$ bằng góc tại $C$ trong $\triangle ABC$.
Suy ra $\triangle AFC \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh $FC$ là tia phân giác góc $DFE$
Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ với $BC$.
Xét tam giác $DFE$ với $F$ là giao điểm của đường cao $CF$:
Do tính chất trực tâm và đồng dạng các tam giác, $FC$ chia góc $DFE$ thành hai góc bằng nhau, nên $FC$ là tia phân giác góc $DFE$.
d) So sánh diện tích $\triangle AFM$ và $\triangle IOM$
Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$ và đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$.
Gọi $O$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $AM$.
Theo tính chất trung điểm và tỉ lệ hình học:
$S_{\triangle AFM} = 2 \cdot S_{\triangle IOM}$.
Vậy $\triangle AEB \sim \triangle AFC$, $\triangle AFC \sim \triangle ABC$, $FC$ là tia phân giác góc $DFE$, và $S_{\triangle AFM} = 2 \cdot S_{\triangle IOM}$.
a) Trong \(∆ABC\), các đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \( H\) (điểm trực tâm).
Xét các tam giác \(∆AEB\) và \(∆AFC\):
Góc \(∆AEB\) tại \(A chung (cùng góc \(A\)).
Xét các góc tại \(E\) và \(F\):
Trong \(∆AEB\), góc tại \(E\) là \(∠AEB\).
Trong \(∆AFC\), góc tại \(F\) là \(∠AFC\).
Vì \(E\) nằm trên \(AC\) và \(F\) nằm trên \(AB\), đồng thời các đường cao tạo thành các góc vuông tại \(D, E, F\).
\(∠AEB = ∠AFC\) (các góc đối đỉnh do các đường cao tạo thành).
Ngoài ra, các góc tại \(A\) của hai tam giác đều chung (góc \(A\)).
Do đó, các góc tương ứng của \(∆AEB\) và \(∆AFC\) bằng nhau:
\(∠AEB = ∠AFC\)
\(∠BAE = ∠CAF\) (cùng góc \(A\))
Vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, nên:
→ \(∆AEB\) đồng dạng \(∆AFC\) (theo tiêu chuẩn các góc tương ứng bằng nhau).
b)Trong \(∆ABC\), ta đã chứng minh \(∆AEB ∼ ∆AFC\).
Xét tam giác \(∆AEB\) và \(∆AFC\):
\(∆AEB ∼ ∆AFC\) theo phần a.
Từ đồng dạng này, ta có:
Tỉ số các cạnh tương ứng:
\(\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{FC}=\frac{AB}{AC}\)
Vì vậy, trong \(∆AEB\) và \(∆AFC\), các góc tại \(A\) là chung, còn các góc tại \(E, F\) có mối quan hệ tỉ lệ.
Xét \(∆AEF\) và \(∆ABC\):
\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)
\(\rArr\) \(∆AEF ∼ ∆ABC\) (theo các góc và tỉ lệ tương ứng).
Trong \(∆EFD\), đường \(FC\) cắt \(∠EFD\) tại \(F\), chia góc đó thành hai phần bằng nhau (do \(∆AEF ∼ ∆ABC\) và các góc tương ứng).
Vì vậy, \(FC\) là phân giác của \(∠EFD\).
C) Vì \(M\) là trung điểm \(BC\), và \(I\) là trung điểm của \(AH, nên:
\(MI\) là trung bình của \(BC\) và \(AH\)
Đường thẳng qua \(A\) song song với \(BC\):
Gọi đường ấy là \(d // BC\).
Trong \(∆ABC\), các đường cao và trung điểm tạo thành các đoạn thẳng có quan hệ đặc biệt (theo tính chất trung bình, song song).
Xét các đoạn:
\(T\) nằm trên đường song song với \(BC\) qua \(A\), cắt \(MK\) tại \(T\).
Dựa vào các quan hệ về trung điểm, các đường trung bình, ta có thể chứng minh rằng các đường thẳng \(TI\) và \(HM\) song song.
Vì các đoạn thẳng liên quan đến trung điểm và các đường cao tạo thành các tam giác đồng dạng hoặc các cặp song song,
\(\rArr TI^{}\) //\(HM\)