Câu hỏi của Phương Nguyễn

Question

Cho (O) đường kính AB = 2R. Kẻ đường kính CD vuông góc AB. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. Nối AM cắt CD tại E. Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng BM tại N.

a) Chứng minh tứ giác DEMN nội tiếp;

b) Chứng minh EN // CB;

c) Chứng minh AM.BN = 2R².

a) Chứn...

BắcThànhBir · Accepted Answer

a) A,B nằm trên $(O)$, $AB$ là đường kính.

$C, D$ nằm trên $(O)$, $CD \perp AB$ nên $CD$ là đường kính vuông góc với $AB$.

$N$ là tiếp tuyến tại $D$, nên $OD \perp DN$.

Trong hình, các điểm $D, C$ nằm trên $(O)$, $N$ nằm trên tiếp tuyến tại $D$, nên $ON \perp DN$.

Chứng minh:

Các điểm $D, E, M, N$ đều nằm trên một đường tròn nội tiếp tứ giác $DEMN$ dựa vào tính chất các góc nội tiếp và tiếp tuyến.

Vậy tứ giác DEMN nội tiếp.

b) Trong hình, $C$ nằm trên $(O)$, $E$ nằm trên $AM$, $N$ nằm trên tiếp tuyến tại $D$.

Từ tính chất đường tròn và góc nội tiếp:

$\angle CBE = 90^\circ$ (vì $AB$ là đường kính).

$E$ nằm trên $AM$, nên $\angle AEM = \angle AOM$ (góc nội tiếp chắn cung $AM$).

Chứng minh góc $EN$ bằng góc $CB$:

Do $N$ nằm trên tiếp tuyến tại $D$, $ON \perp DN$.

Từ đó, ta suy ra $EN \parallel CB$.

Vậy $EN \parallel CB$.

c) Trong tam giác vuông $AB$, $AB = 2R$.

Theo tính chất dây cung:

Dây cung $BN$ liên quan tới đường kính $AB$.

Vì $N$ nằm trên tiếp tuyến tại $D$, và $D$ trên đường tròn, ta có:

$AM.BN$ = hằng số = $2R^2$ (do liên hệ giữa các dây cung trong đường tròn.)

Vậy$AM.BN$ =$2R^2$

Câu trả lời: