a) Chứng minh BFEC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

• Chứng minh BFEC nội tiếp:
• • Ta có: \(\angle B F C = 90^{\circ}\) (CF là đường cao)
  • Ta có: \(\angle B E C = 90^{\circ}\) (BE là đường cao)
  • Suy ra: \(\angle B F C = \angle B E C = 90^{\circ}\)
  • Vậy tứ giác BFEC có hai đỉnh kề nhau (F và E) cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông, nên BFEC là tứ giác nội tiếp.
• Xác định tâm O:
• • Vì BFEC nội tiếp đường tròn, và BC là một dây cung của đường tròn đó.
  • Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC là trung điểm của BC.

b) Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn O

• Ta có O là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
• Xét tam giác vuông BEC, O là trung điểm BC nên OE = OC = OB = BC/2
• Xét tam giác vuông AHD, I là trung điểm AH nên IE = IA = IH = AH/2
• Ta cần chứng minh \(\angle O E I = 90^{\circ}\)
• Chứng minh được \(\angle O E C = \angle O C E\)
• Chứng minh được \(\angle I E A = \angle I A E\)
• Mà \(\angle I A E + \angle O C E = 90^{\circ}\) (do AD vuông góc BC)
• Vậy \(\angle O E I = 90^{\circ}\), suy ra IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Vẽ CI cắt đường tròn O tại M (M khác C), EF cắt AD tại K. Chứng minh B, K, M thẳng hàng

• Gọi giao điểm của BM và AD là K'.
• Ta cần chứng minh K' trùng với K (giao điểm của EF và AD)
• Chứng minh tứ giác CEMB nội tiếp (do BFEC nội tiếp)
• Suy ra \(\angle B M E = \angle B C E\)
• Chứng minh \(\angle K^{'} E B = \angle K^{'} F B = 90 - \angle C\)
• Suy ra \(\angle K^{'} E B = \angle B M E\), suy ra tứ giác BMEK' nội tiếp
• Suy ra \(\angle B K^{'} M = \angle B E M = 90 - \angle A\)
• Chứng minh \(\angle B K^{'} A = 90 - \angle A\)
• Suy ra K', E, F thẳng hàng. Vậy K' trùng với K.
• Vậy B, K, M thẳng hàng.

•  (vì  )
•  (vì  )

1. Xét tam giác   vuông tại  : Có   là trung điểm của cạnh huyền   (giả thiết). Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có  . Do đó, tam giác   cân tại  , suy ra  .
2. Xét tam giác  : Có   (cùng là bán kính đường tròn  ). Do đó, tam giác   cân tại  , suy ra  .
3. Cộng góc: Ta có:
   Mà  .
   Mặt khác,  . Trong tam giác vuông  , ta có  .
   Lại có   (đối đỉnh) và   (trong tam giác vuông  ).

•  (tính chất trung tuyến tam giác vuông  ).
•  (tính chất bán kính trong tam giác cân  ).
• Trong tam giác vuông  , ta có  .
• Mà   (đối đỉnh)  .
• Kết hợp các yếu tố góc, ta chứng minh được  .

1. Xác định K:   là giao điểm của   và  . Trong tam giác  ,   đồng quy tại  . Theo tính chất cực và đối cực hoặc tỉ số kép, bộ điểm   là một hàng điểm điều hòa.
2. Sử dụng phương tích:
3. • Tứ giác   nội tiếp đường tròn đường kính   (tâm  ).
   •  là trục đẳng phương của đường tròn   đường kính   và đường tròn   đường kính  .
   • Đường thẳng   chứa các đoạn   và  .
4. Chứng minh thẳng hàng: Gọi   là giao điểm của   với đường tròn  . Đường thẳng   sẽ đi qua điểm   trên trục đẳng phương khi xét mối liên hệ giữa các đường tròn và cát tuyến. Cụ thể, điểm   chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (trong đó có đường tròn đường kính   và đường tròn  ). Khi   cắt   tại  , theo các tính chất về hàng điểm và đường thẳng Pascal trong các cấu hình hình học phẳng, ta thu được   thẳng hàng.