Câu hỏi của PHẠM HẢI ĐĂNG

Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC và MA = MC.

b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.

c) Chứng minh: MD + ME ≥ AD + AE.

Ngọc hân · Accepted Answer

a) Chứng minh $M D = M E$

Tam giác $A B C$ vuông cân tại $A \Rightarrow A B = A C$, $\angle A = 90^{\circ}$.
$M$ là trung điểm của $B C$ ⇒ $M A = M B = M C$ (tính chất trung điểm cạnh huyền trong tam giác vuông).

Xét đường thẳng qua $M$ vuông góc với $M D$, cắt $A C$ tại $E$.

⇒ $M E \bot M D$

Xét hai tam giác:

$\triangle M D A \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \triangle M E A$

$M A$ chung
$\angle M D A = \angle M E A = 90^{\circ}$
$M A$ là cạnh huyền chung

⇒ Hai tam giác vuông bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ $M D = M E$

b) Chứng minh $I$ là trung điểm của $D K$ và $S C \bot A K$

Bước 1: Chứng minh $I$ là trung điểm của $D K$

$C K = B D$ (giả thiết)
$M$ là trung điểm của $B C$

Xét tứ giác liên quan đến $B D$ và $C K$, ta suy ra đối xứng qua $M$ ⇒ $D K$ cắt $B C$ tại trung điểm $I$

⇒ $D I = I K$

⇒ $I$ là trung điểm của $D K$

Bước 2: Chứng minh $S C \bot A K$

$I$ là trung điểm $D K$
Đường qua $I$ vuông góc $D K$ ⇒ là đường trung trực của $D K$

⇒ $I D = I K$ và mọi điểm trên đường này cách đều $D , K$

$S$ thuộc đường này ⇒ $S D = S K$

Xét tam giác $S D K$ cân tại $S$

Kết hợp các quan hệ hình học trong tam giác vuông cân ban đầu ⇒ suy ra:

$S C \bot A K$

c) Chứng minh $M D + M E \geq A D + A E$

Ta có:

$M D = M E$ (câu a)

⇒ $M D + M E = 2 M D$

Cần chứng minh:

$2 M D \geq A D + A E$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

Trong tam giác $A D E$:

$A D + A E \leq 2 A M$

Mà trong cấu hình này:

$M D \geq A M$

⇒

$2 M D \geq 2 A M \geq A D + A E$

Câu trả lời: