Tui có cách khác đây, góp vui thôi thi đừng xài (bí lắm xài cx dc)

Dự đoán dấu "=" xảy khi \(x=y=z=1\) tính được \(P=3\)

Vậy cần chứng minh đó là GTNN của P

Thật vậy, tức là cần chứng minh 

\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3+3x}{9+9y^2}+\frac{3+3y}{9+9z^2}+\frac{3+3z}{9+9x^2}\ge1\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{4x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2+9y^2}\ge\frac{3}{x+y+z}\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(7x^6+30x^5y+21x^5z-6x^4y^2+57x^4z^2+14x^3y^3+75x^4yz-6x^3y^2z+66x^3z^2y-258x^2y^2z\right)\ge0\)

BĐT cuối đúng vì \(Σx^6\geΣx^4y^2\) theo BĐT Rearrangement còn lại đúng theo AM-GM

P/s:dưới chân mỗi Σ bn ghi chữ "cyc" hộ mk nhé

Hướng giải nè: 

P/s: đây là cách giải của bản thân mik nên chưa bt nó tối ưu chưa

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2.\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{y.\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)

bạn lm tương tự r cộng vào,,đánh giá nốt là ok

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+6\right)^2=\left(1-x\right)^2\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+6+x-1\right)\left(2x+6+1-x\right)=0\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+5\right)\left(x+7\right)=0\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}\)

b: \(\Leftrightarrow2\cdot3\sqrt{x-3}-\dfrac{1}{5}\cdot5\sqrt{x-3}-\dfrac{1}{7}\cdot7\sqrt{x-3}=2x\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x-3}=2x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-3}=x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x-12}=x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=3\\x^2=4x-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)​

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+6\right)^2=\left(1-x\right)^2\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+6+x-1\right)\left(2x+6+1-x\right)=0\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+5\right)\left(x+7\right)=0\\-3< =x< =1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}\)

b: \(\Leftrightarrow2\cdot3\sqrt{x-3}-\dfrac{1}{5}\cdot5\sqrt{x-3}-\dfrac{1}{7}\cdot7\sqrt{x-3}=2x\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x-3}=2x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-3}=x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x-12}=x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=3\\x^2=4x-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

bn xem lại đầu bài đi nhé 

tuong tụ Câu hỏi của TRUONG LINH ANH - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p):

\(x^2=x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-m+1=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left(-m+1\right)=4m-3\)

Để (d) cắt (p) tại 2 điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow4m-3>0\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1.x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-x_1x_2+3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{1-m}-\left(1-m\right)+3=0\left(m\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow4-\left(1-m\right)^2+3\left(1-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(tm\right)\\m=-3\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy để (d)cắt (p) tại 2 điểm có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\) thì m=2

H I O A B C M K

Dựng hình vẽ như trên. Dễ thấy O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => OA = OK và OM vuông góc BC

=> OM là đường trung bình của tam giác AHK => OM // AH và OM = 1/2AH

Dễ dàng chứng minh được O,I,H thẳng hàng và OH vuông góc OM , AH vuông góc HI

Ta có : \(\sqrt{\frac{OI^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IM^2}{AI^2}}=\frac{IM}{AI}=\frac{1}{2}\)

Cm OH vuong goc voi OM kieu j