1. Cách 1: Tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$

Đây là cách dùng nhiều nhất cho các tứ giác lồi.

• Lý thuyết: Nếu tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$ hoặc $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$ thì 4 điểm đó thuộc một đường tròn.
• Ví dụ từ bài trước: Gọi $H$ là trực tâm. Tứ giác $AEHK$ có $\widehat{AKH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$.
• • $\Rightarrow \widehat{AKH} + \widehat{AEH} = 180^\circ$.
  • Vậy 4 điểm $A, K, H, E$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).

2. Cách 2: Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau

Cách này thường dùng khi bạn thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền.

• Lý thuyết: Nếu hai điểm $K, E$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc bằng nhau ($\widehat{BKC} = \widehat{BEC} = \alpha$) thì $B, K, E, C$ cùng thuộc một đường tròn.
• Ví dụ từ bài trước: Xét tứ giác $BKEC$ có:
• • $\widehat{BKC} = 90^\circ$ (do $CK \perp AB$)
  • $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$)
  • $\Rightarrow K$ và $E$ cùng nhìn $BC$ dưới góc $90^\circ$.
  • Vậy 4 điểm $B, K, E, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

3. Cách 3: Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

• Lý thuyết: Nếu góc ngoài tại đỉnh $A$ bằng góc trong tại đỉnh $C$ của tứ giác $ABCD$, thì tứ giác đó nội tiếp.
• Liên hệ bài trước: Ở câu (b) bạn đã chứng minh được $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$. Vì $\widehat{AEK}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$ của tứ giác $BKEC$, nên điều này cũng chứng minh được $B, K, E, C$ nội tiếp.

4. Cách 4: Phương tích điểm (Dành cho học sinh giỏi)

• Lý thuyết: Nếu có một điểm $M$ sao cho $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ (với $M$ là giao điểm của $AB$ và $CD$), thì 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.
• Ứng dụng: Cách này thường dùng để chứng minh ngược lại khi đã biết các tỉ số đồng dạng.

Tóm tắt nhanh:

Để chứng minh 4 điểm thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh tứ giác tạo bởi 4 điểm đó là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Có nhiều phương pháp để thực hiện điều này, tùy thuộc vào các giả thiết và đặc điểm hình học của bài toán. Dưới đây là các cách phổ biến:

1. Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng \(18 0^{\circ}\).
2. • Giả sử 4 điểm là A, B, C, D. Ta xét tứ giác ABCD.
   • Nếu ta chứng minh được \(\angle A + \angle C = 18 0^{\circ}\) hoặc \(\angle B + \angle D = 18 0^{\circ}\), thì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. (Lưu ý: Nếu một cặp góc đối diện có tổng bằng \(18 0^{\circ}\), thì cặp góc đối diện còn lại cũng có tổng bằng \(18 0^{\circ}\).)
3. Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.
4. • Ta có thể kéo dài một cạnh của tứ giác, ví dụ kéo dài cạnh AB về phía B thành tia Bx.
   • Nếu góc ngoài tại đỉnh B (ví dụ \(\angle C B x\)) bằng góc trong tại đỉnh đối diện là D (\(\angle A D C\)), tức là \(\angle C B x = \angle A D C\), thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
5. Sử dụng tính chất các đường trung trực.
6. • Chọn 3 điểm bất kỳ trong 4 điểm đã cho, ví dụ A, B, C.
   • Tìm giao điểm O của hai đường trung trực của hai dây bất kỳ, ví dụ đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường trung trực của đoạn thẳng BC. Điểm O này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
   • Kiểm tra xem khoảng cách từ tâm O đến ba điểm A, B, C có bằng nhau không (\(O A = O B = O C\)). Nếu bằng nhau, đó là bán kính đường tr...

Để chứng minh 4 điểm thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh tứ giác tạo bởi 4 điểm đó là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Có nhiều phương pháp để thực hiện điều này, tùy thuộc vào các giả thiết và đặc điểm hình học của bài toán. Dưới đây là các cách phổ biến:

1. Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng \(18 0^{\circ}\).
2. • Giả sử 4 điểm là A, B, C, D. Ta xét tứ giác ABCD.
   • Nếu ta chứng minh được \(\angle A + \angle C = 18 0^{\circ}\) hoặc \(\angle B + \angle D = 18 0^{\circ}\), thì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. (Lưu ý: Nếu một cặp góc đối diện có tổng bằng \(18 0^{\circ}\), thì cặp góc đối diện còn lại cũng có tổng bằng \(18 0^{\circ}\).)
3. Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.
4. • Ta có thể kéo dài một cạnh của tứ giác, ví dụ kéo dài cạnh AB về phía B thành tia Bx.
   • Nếu góc ngoài tại đỉnh B (ví dụ \(\angle C B x\)) bằng góc trong tại đỉnh đối diện là D (\(\angle A D C\)), tức là \(\angle C B x = \angle A D C\), thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
5. Sử dụng tính chất các đường trung trực.
6. • Chọn 3 điểm bất kỳ trong 4 điểm đã cho, ví dụ A, B, C.
   • Tìm giao điểm O của hai đường trung trực của hai dây bất kỳ, ví dụ đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường trung trực của đoạn thẳng BC. Điểm O này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
   • Kiểm tra xem khoảng cách từ tâm O đến ba điểm A, B, C có bằng nhau không (\(O A = O B = O C\)). Nếu bằng nhau, đó là bán kính đường tr...

9+9=