Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.vì tứ giác ABCD là hình bình hành
suy ra AB//CD, AB = CD
vì AB = CD mà M, N lần lượt là trung điểm AB, CD
suy ra AM = CN
mà AM//CN (M, N thuộc AB, CD) và AM = CN
\(\Rightarrow\) tứ giác AMCN là hình bình hành
b.MF//AE, M là trung điểm AB nên MF là đường trung bình của tam giác
Suy ra F là trung điểm của BE
c.vì AMCN là hình bình hành
suy ra AN//CM
xét tam giác ABE có
MF//AE, M là trung điểm AB
suy ra MF là đường trung bình của tam giác
suy ra F là trung điểm BE
chứng minh tương tự với tam giác CDF, ta được E là trung điểm DF
từ đó suy ra DE = EF = FB
a) Xét hình bình hành ABCD có:
AB=CD => AM=CN (1)
AB//CD => AM//CN (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác AMCN là hình bình hành (dấu hiệu 3)
b) Ta có: MF//AE (do CM//AN)
Xét tam giác BEA có:
MF//AE
AM=MB
=> MF là đường trung bình của tam giác BEA
=> EF=FB hay F là trung điểm của BE
c) Ta có: CF//NE (do CM//AN)
Xét tam giác DFC có:
DN=NC
CF//NE
=> NE là đường trung bình của tam giác DFC
=> DE=EF
mà EF=FB nên DE=EF=FB
Bài làm :
A B C D E F
a/ Xét \(\diamond EBFD\), có :
- \(EB//DF\) (vì \(AB//CD\))
- \(EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=FC\)
\(\Rightarrow \diamond EBFD\) là hình bình hành \(\Rightarrow DE=BF,\:EB//EF\)(1)
b/ Xét \(\diamond AECF\), có :
- \(AE//FC\) (vì \(AB//CD\))
- \(AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=FC\)
\(\Rightarrow\:\diamond AECF\) là hình bình hành \(\Rightarrow AF=EC, AF//EC\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \diamond EMFN\) là hình bình hành.
\(\text{GIẢI :}\)
A B C H D O I x y
a) Xét \(\diamond\text{ACDO}\) có \(\widehat{\text{OAC}}=\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{CDO}}\text{ }\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình chữ nhật.
mà \(AC=CD\text{ }\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông.
b) Xét ABC , có : \(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}\) (1)
Xét ABH , có : \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABH}\)
hay \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABC}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{ }\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\).
Xét \(\bigtriangleup\text{ABC và }\bigtriangleup\text{OIA}\), có :
\(\widehat{IOA}=\widehat{BAC}\text{ }\left(90^{\text{o}}\right)\)
\(AO=AC\) (vì \(\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông)
\(\widehat{IAO}=\widehat{ACB}\) (vì \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\), \(\widehat{IAO}\) và \(\widehat{BAH}\) đối đỉnh)
\(\Rightarrow\bigtriangleup\text{ABC}=\bigtriangleup\text{OIA}\) (g.c.g)
\(\Rightarrow\text{ IA = BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm).
GIẢI :
A B C H D O I x y
a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)
\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.
mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.
b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)
Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)
hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).
Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :
\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)
\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)
\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)
\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)
\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcmGIẢI :
A B C H D O I x y
a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)
\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.
mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.
b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)
Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)
hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).
Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :
\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)
\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)
\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)
\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)
\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm
bạn dùng tính chất đương phân giác rồi suy ra tỉ leejj bằng nhau
A D B C K I 1 1 2 1
a) Vì ABCD là hình bình hành ( GT )
\(\Rightarrow AD//BC\left(Tc\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{AIB}\)( 2 góc so le trong )
Mà \(\widehat{KAI}=\widehat{BAI}\)( vì AI là phân giác của góc BAD )
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{BAI}\)
Xét \(\Delta ABI\)có : \(\widehat{AIB}=\widehat{BAI}\)
\(\Rightarrow\Delta ABI\) cân tại B ( Dấu hiệu nhận biết )
b) Ta có : CK là phân giác của góc DCI ( GT )
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{DCI}}{2}\left(1\right)\)
AI là phân giác của góc BAK ( GT )
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{A_1}=\frac{\widehat{BAK}}{2}\left(2\right)\)
Mà \(\widehat{BAK}=\widehat{DCI}\) ( ABCD là hình bình hành ) (3)
Từ ( 1 ) ,(2 ) ,( 3)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{C_2}\)
Mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}\)( chứng minh trên)
\(\Rightarrow\widehat{BIA}=\widehat{C_2}\)
c) Bạn tự làm nốt nha !
\(\text{GIẢI :}\)
A B C M D E
a) Xét \(\diamond\text{ADME}\) có \(DM\text{ }//\text{ }AB\), \(EM\text{ }//\text{ }AC\) \(\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ADME}\) là hình bình hành.
b) Để hình bình hành ADME là hình thoi \(\Leftrightarrow\text{ }AM\) là tia phân giác của góc A.
Vậy M là giao điểm của tia phân giác góc A và cạnh BC thì ADME là hình thoi.
c) Để hình bình hành ADME là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow\angle\text{A}=90^0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\bigtriangleup\text{ABC}\) vuông tại A.
a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế :
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
đầu của toi hẵng còn đau lắm :)))
- Vì là trung điểm của (giả thiết) và đối xứng với qua nên cũng là trung điểm của .
- Xét tứ giác có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó là hình bình hành.
- Mặt khác, là đường cao của tam giác nên .
- Hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác là hình bình hành- Tam giác cân tại có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến, suy ra là trung điểm của . Do đó .
- Vì là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a) nên và .
- Mà là trung điểm nên và thẳng hàng.
- Từ đó suy ra và .
- Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác là hình bình hành- Gọi là giao điểm của và . Vì là hình bình hành (câu b) nên là trung điểm của và .
- Mà theo giả thiết, là trung điểm của , do đó trùng với . Suy ra là trung điểm của .
- Xét tam giác có là trung điểm của và là trung điểm của (không trực tiếp giúp ở đây, hãy dùng cách khác).
- Cách đơn giản hơn:
- Trong tam giác , là trung điểm , là trung điểm nên là đường trung bình và .
- Vì là trung điểm nên và .
- Do đó là hình bình hành và .
- Sử dụng tọa độ hoặc tính chất đối xứng, ta thấy song song và bằng . Cụ thể: và trong hình bình hành , song song và bằng cạnh nào đó? Không, hãy dùng tính chất: đối xứng qua nên . Trong tam giác , là trung điểm , là trung điểm nên là đường trung bình .
- Thực tế, cách nhanh nhất là chứng minh hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (xem câu d). Nhưng để đúng thứ tự, ta có: và nên là hình bình hành. Từ đó suy ra cũng là hình bình hành (do các vectơ tương ứng bằng nhau).
d) Chứng minh đồng quylà trung điểm , đối xứng với qua ( là trung điểm ).
là trung điểm . KL:
a) là hình chữ nhật.
b) là hình bình hành.
c) là hình bình hành.
d) đồng quy.
a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
- Xét tứ giác có:
- là trung điểm của đường chéo (giả thiết).
- là trung điểm của đường chéo (do đối xứng với qua ).
- Tứ giác là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
- Mặt khác, cân tại có là đường cao .
- Hình bình hành có nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác là hình bình hành- Vì là hình chữ nhật (chứng minh câu a) và .
- Vì cân tại có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là trung điểm của .
- Từ đó ta có: (vì ) và (cùng bằng ).
- Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác là hình bình hành- Xét , có lần lượt là trung điểm của .
- là đường trung bình của .
- và .
- Ta có là trung điểm . Do đó và .
- Theo câu (b), là hình bình hành và .
- Xét tứ giác :
- Ta đã có (hay ). Tuy nhiên, cách dễ nhất là dùng vector hoặc tính chất bắc cầu:
- Vì là hình chữ nhật .
- Một cách khác: Trong hình bình hành , gọi là giao điểm của và . Vì là trung điểm và là trung điểm , ta có thể xét các đoạn thẳng tương ứng.
- Cách đơn giản nhất:
- (đường trung bình).
- Trong hình bình hành , .
- Gọi là giao điểm của và . Vì là trung điểm nên đi qua trung điểm của đường cao .
- Thực tế, xét tứ giác :
- đối xứng với qua .
- là trung điểm , là trung điểm .
- Từ đó chứng minh được các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Cụ thể: và (dựa vào tính chất đường trung bình và hình chữ nhật).
d) Chứng minh ba đường thẳng đồng quya: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điểm của BC và AH là phân giác của góc BAC
Xét tứ giác AHBE có
M là trung điểm chung của AB và HE
=>AHBE là hình bình hành
Hình bình hành AHBE có \(\hat{AHB}=90^0\)
nên AHBE là hình chữ nhật
b: AHBE là hình chữ nhật
=>AE//BH và AE=BH
AE//BH
=>AE//CH
AE=BH
BH=CH
Do đó: AE=CH
Xét tứ giác AEHC có
AE//HC
AE=HC
Do đó: AEHC là hình bình hành
c: AEHC là hình bình hành
=>HE//AC và HE=AC
HE//AC
=>EM//CN
TA có: HE=AC
mà \(EM=MH=\frac{EH}{2};AN=NC=\frac{AC}{2}\)
nên EM=MH=AN=NC
Xét tứ giác EMCN có
EM//CN
EM=CN
Do đó: EMCN là hình bình hành
d: AEHC là hình bình hành
=>AH cắt EC tại trung điểm của mỗi đường(1)
EMCN là hình bình hành
=>EC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AH,EC,MN đồng quy