Lời giải:

Đặt \(x^2-2x+2=t\). Dễ thấy, \(t\geq 1\)

Phương trình trở thành:

\(4^{t+1}+3^t+t-2=m\)

Xét đạo hàm vế trái, ta thấy hàm luôn đồng biến với mọi \(t\geq 1\), do đó mà

\(4^{t+1}+3^t+t-2\geq 4^{2}+3^1+1-2=18\)

Do đó để PT có nghiệm thì chỉ cần \(m\geq 18\)

Đáp án D

bạn nhập pt vào máy tính rồi nhấn shift slove = ,sẽ ra nghiệm là 0,5 .lấy 0,5 thể vào căn thức rồi nhân liên hợp là ok

Ta có : 

\(a=\log_{12}18=\frac{\log_218}{\log_212}=\frac{\log_2\left(2.3^2\right)}{\log_2\left(2^2.3\right)}=\frac{1+2\log_23}{2+\log_23}\)

\(\Rightarrow a\left(a+\log_23\right)=1+2\log_23\Leftrightarrow\log_23=\frac{1-2a}{a-2}\left(1\right)\)

\(b=\log_{24}54=\frac{\log_254}{\log_224}=\frac{\log_2\left(2.3^2\right)}{\log_2\left(2^2.3\right)}=\frac{1+3\log_23}{3+\log_23}\)

\(\Rightarrow b\left(3+\log_23\right)=1+3\log_23\Leftrightarrow\log_23=\frac{1-3b}{b-3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1-2a}{a-2}=\frac{1-3b}{b-3}\Leftrightarrow\left(1-2a\right)\left(b-3\right)=\left(1-3b\right)\left(a-2\right)\)

                                           \(\Leftrightarrow ab+5\left(a-b\right)=1\Rightarrow\) Điều phải chứng minh

Lấy Logarit cơ số 2 cả 2 vế của 1 phương trình, ta có :

\(\begin{cases}x+y\log_23=2+\log_23\\x\log_23+y=1+2\log_23\end{cases}\)

Đây là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y. Nhân cả 2 vế của phương trình thứ nhất với \(\log_23\) rồi trừ cho phương trình thứ 2, ta được

\(y\left(\log^2_23-1\right)=\log^2_23-1\)

=> y=1

Dễ dàng suy ra x=2

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là (2;1)

https://moon.vn/hoi-dap/cho-so-phuc-xyileft-xyin-mathbbz-right-thoa-man-z%5E31826i-tinh-tleft-z-2-right%5E2left--540358

3

=1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2

=1/2.6

=6/2=3

Câu 1: Xét trên miền [1;4]

Do \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\)

\(x\left(1+2f\left(x\right)\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^2\Leftrightarrow x=\frac{\left[f'\left(x\right)\right]^2}{1+2f\left(x\right)}\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)dx}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\int\sqrt{x}dx\Leftrightarrow\int\left(1+2f\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(f\left(x\right)\right)=\int x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\)

Do \(f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{1+2.\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\)

Đến đây có thể bình phương chuyển vế tìm hàm \(f\left(x\right)\) chính xác, nhưng dài, thay luôn \(x=4\) vào ta được:

\(\sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}4.\sqrt{4}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}\Rightarrow f\left(4\right)=\frac{\left(\frac{20}{3}\right)^2-1}{2}=\frac{391}{18}\)

Câu 2:

Diện tích hình phẳng cần tìm là hai miền đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần tính trên miền \(x\ge0\)

Hoành độ giao điểm: \(sinx=x-\pi\Rightarrow x=\pi\)

\(S=2\int\limits^{\pi}_0\left(sinx-x+\pi\right)dx=4+\pi^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a+b^3=9\)

Viết phương trình về dạng

\(\frac{2^x}{3^x+4^x}-\frac{4^x}{9^x+16^x}=\frac{-5}{2x}\) hay \(\frac{2^x}{3^x+4^x}+\frac{5}{x}=\frac{2^{2x}}{3^{2x}+4^{2x}}+\frac{5}{2x}\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{2^t}{3^t+4^t}+\frac{5}{t}\) luôn đồng biến

Đáp số : Phương trình vô nghiệm

Ta có :

\(a=\log_615=\frac{\log_215}{\log_26}=\frac{\log_23+\log_25}{1+\log_23}\left(1\right)\)

\(b=\log_{12}18=\frac{\log_118}{\log_212}=\frac{\log_2\left(2.3^2\right)}{\log_2\left(2^2.3\right)}=\frac{1+2\log_23}{2+\log_23}\left(2\right)\)

Từ \(\left(2\right)\Rightarrow b\left(2+\log_23\right)=1+2\log_23\Leftrightarrow\left(b-2\right)\log_23=1-2b\Leftrightarrow\log_23=\frac{1-2b}{b-2}\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\log_25=a\left(a+\log_23\right)-\log_23=\left(a-1\right)\log_23+a=\left(a-1\right)\frac{1-2b}{b-2}+a=\frac{b-5}{4b-2a-2ab-2}\)

\(\Rightarrow F=\log_{25}24=\frac{\log_224}{\log_225}=\frac{\log_2\left(2^3.3\right)}{\log_25^2}=\frac{3+\log_23}{2\log_25}=\frac{3+\frac{1-2b}{b-2}}{2.\frac{2b-a-ab-1}{b-2}}=\frac{b-5}{4b-2a-2ab-2}\)