Cho $\triangle ABC$ nhọn, $BD, CE$ là các đường cao cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh $BD = CE$

Xét hai tam giác vuông $BDC$ và $CEB$:

$\widehat{BDC} = 90^\circ$, $\widehat{CEB} = 90^\circ$

Lại có:

$\widehat{BCD} = \widehat{C}$

$\widehat{CBE} = \widehat{C}$

=> $\triangle BDC \sim \triangle CEB$ (g.g)

Do đó: $\dfrac{BD}{CE} = \dfrac{BC}{CB} = 1$

=> $BD = CE$. (đpcm)

b) Chứng minh $HD + HE + HF < AH + BH + CH$

Vì $BD, CE$ là đường cao nên $H$ là trực tâm.

Xét tam giác $ABC$, gọi $F$ là trung điểm của $BC$.

Ta có:

$HF < HB$ (trong tam giác $HBC$)

$HD < HA$ (trong tam giác $HAC$)

$HE < HC$ (trong tam giác $HAB$)

Cộng ba bất đẳng thức: $HD + HE + HF < HA + HB + HC$

Hay: $HD + HE + HF < AH + BH + CH$. (đpcm)

1. Xét hai tam giác vuông:
   Xét   và   có:
2. •  (do   là đường cao).
   •  (giả thiết   cân tại  ).
   •  là góc chung.
3. Kết luận bằng nhau:
   Từ các điều kiện trên, ta có   (cạnh huyền - góc nhọn).
    (hai cạnh tương ứng).

1. So sánh   và   với  :
2. • Trong tam giác vuông   vuông tại  , cạnh huyền   là cạnh lớn nhất:
     
   • Trong tam giác vuông   vuông tại  , cạnh huyền   là cạnh lớn nhất:
     
3. So sánh   với   và  :
4. • Trong  , gọi   là trung điểm của  .   là đường trung tuyến ứng với cạnh  .
   • Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, độ dài đường trung tuyến luôn nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh kề:
     (Chứng minh nhanh: Lấy điểm   đối xứng với   qua  . Khi đó   là hình bình hành, suy ra   và  . Trong  , có  ).
5. Thiết lập bất đẳng thức khác:
   Ta cũng có các quan hệ sau từ các tam giác vuông tại   và  :
6. • Trong   vuông tại  : 
   • Trong   vuông tại  : 
7. Tổng hợp kết quả:
   Cộng các bất đẳng thức  ,   và   ta được:
   Tuy nhiên, để đạt được đúng biểu thức  , ta sử dụng cách đánh giá trực tiếp hơn:
   Cộng vế với vế:  . Cách này chưa sát yêu cầu. Ta cần dùng:
   Cộng lại ta có:
   
8. •  (trong  )
   •  (trong  )
   •  (trong  )
9. •  (trong  )
   •  (trong  )
   • Trong tam giác nhọn, ta có một tính chất:   (Khoảng cách từ trực tâm đến trung điểm cạnh nhỏ hơn khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh đối diện).

• Câu a: Nếu   cân tại   thì   dựa trên việc chứng minh hai tam giác   và   bằng nhau.
• Câu b: Bằng cách sử dụng tính chất cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác vuông (  và  ) cùng với tính chất trung tuyến ( ), ta chứng minh được tổng các đoạn từ   đến các hình chiếu và trung điểm luôn nhỏ hơn tổng các đoạn từ   đến các đỉnh.

a) Chứng minh BD = CE

Kết luận này không đúng trong mọi tam giác nhọn.

Ta có công thức:

• \(B D = A B \cdot sin ⁡ C\)
• \(C E = A C \cdot sin ⁡ B\)

Suy ra:

\(B D = C E \Leftrightarrow A B sin ⁡ C = A C sin ⁡ B\)

Điều này chỉ xảy ra khi:

\(A B = A C\)

Vậy:

• Nếu tam giác ABC cân tại A thì \(B D = C E\)
• Nếu không có giả thiết cân thì không thể kết luận \(B D = C E\)

b) Chứng minh

\(H D + H E + H F < A H + B H + C H\)

Xét các tam giác:

• Trong tam giác AHD:

\(H D < H A + A D\)

• Trong tam giác BHE:

\(H E < H B + B E\)

• Trong tam giác CHF:

\(H F < H C + C F\)

Cộng lại:

\(H D + H E + H F < \left(\right. H A + A D \left.\right) + \left(\right. H B + B E \left.\right) + \left(\right. H C + C F \left.\right)\) \(= A H + B H + C H + \left(\right. A D + B E + C F \left.\right)\)

Vì \(A D , B E , C F > 0\), nên:

\(H D + H E + H F < A H + B H + C H + \text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{d}ưo\text{ng}\)

Suy ra:

\(H D + H E + H F < A H + B H + C H\)