Câu hỏi của Phương

Question

Bài 8. Cho (O) đường kính AB = 2R .Vẽ đường kính MN (không trùng với AB). Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt AM và AN tại C và D. Chứng minh rằng

a. Tứ giác A...

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Bài 9:

a: Xét (O) có

ΔADH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔADH vuông tại D

=>HD⊥AC tại D

Xét (O) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét tứ giác ADHE có $\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0$

nên ADHE là hình chữ nhật

=>ADHE nội tiếp (O)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên $AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)$

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên $AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)$

Từ (1),(2) suy ra $AD\cdot AB=AE\cdot AC$

=>$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

Xét ΔADE vuông tạiA và ΔACB vuông tại A có

$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

Do đó; ΔADE~ΔACB

=>$\hat{ADE}=\hat{ACB}$

mà $\hat{ADE}+\hat{BDE}=180^0$ (hai góc kề bù)

nên $\hat{BDE}+\hat{BCE}=180^0$

=>BDEC là tứ giác nội tiếp

c: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}$

ADHE là hình chữ nhật

=>$\hat{AEH}=\hat{ADH}$

mà $\hat{ADH}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{DAH}\right)$

nên $\hat{AEH}=\hat{ABC}$

$\hat{MAC}+\hat{AED}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0$

=>AM⊥DE

Câu trả lời:

Bài 9:

a: Xét (O) có

ΔADH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔADH vuông tại D

=>HD⊥AC tại D

Xét (O) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét tứ giác ADHE có $\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0$

nên ADHE là hình chữ nhật

=>ADHE nội tiếp (O)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên $AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)$

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên $AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)$

Từ (1),(2) suy ra $AD\cdot AB=AE\cdot AC$

=>$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

Xét ΔADE vuông tạiA và ΔACB vuông tại A có

$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$

Do đó; ΔADE~ΔACB

=>$\hat{ADE}=\hat{ACB}$

mà $\hat{ADE}+\hat{BDE}=180^0$ (hai góc kề bù)

nên $\hat{BDE}+\hat{BCE}=180^0$

=>BDEC là tứ giác nội tiếp

c: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}$

ADHE là hình chữ nhật

=>$\hat{AEH}=\hat{ADH}$

mà $\hat{ADH}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{DAH}\right)$

nên $\hat{AEH}=\hat{ABC}$

$\hat{MAC}+\hat{AED}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0$

=>AM⊥DE

Nguyễn Trường An · Answer

Bài 8. Cho (O) đường kính AB.

a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

Xét tứ giác $AMBN$ có:
- Hai đường chéo $AB$ và $MN$ cắt nhau tại tâm $O$.
- $OA = OB = OM = ON = R$ (bán kính).
$\Rightarrow$ $O$ là trung điểm của mỗi đường. Vậy $AMBN$ là hình bình hành.
Lại có $AB = MN = 2R$ (hai đường chéo bằng nhau).
Kết luận: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

b. Chứng minh tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp

Vì $AMBN$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
$\Rightarrow AM \perp MB$ hay $AM \perp BC$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (do $BC$ là tiếp tuyến), có $BM$ là đường cao:
- Áp dụng hệ thức lượng: $\widehat{BAM} = \widehat{BCM}$ (cùng phụ với $\widehat{MAC}$).
Mà trong đường tròn $(O)$, $\widehat{BAM} = \widehat{BNM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$).
Từ đó suy ra $\widehat{BCM} = \widehat{BNM}$.
Kết luận: Tứ giác $MNDC$ có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện $\Rightarrow$ Nội tiếp.

c. Chứng minh $AN \cdot AD = AM \cdot AC$

Xét hai tam giác $\Delta AMN$ và $\Delta ADC$:
- Có $\widehat{MAN}$ chung.
- Có $\widehat{AMN} = \widehat{ADC}$ (do tứ giác $MNDC$ nội tiếp ở câu b).
$\Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ADC$ (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AC}$
Kết luận: $AN \cdot AD = AM \cdot AC$ (đpcm).

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a. Nhận xét về tứ giác ADHE

Xét tứ giác $ADHE$ có:
- $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$).
- $\widehat{ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AH$).
- $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AH$).
Nhận xét: Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. Do đó, nó nội tiếp đường tròn $(O)$.

b. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

Vì $ADHE$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{AHE}$ (cùng chắn cung $AE$).
Mà trong $\Delta AHC$ vuông tại $H$, ta có $\widehat{AHE} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$).
Suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
Kết luận: Tứ giác $BDEC$ có góc ngoài bằng góc đối trong nên là tứ giác nội tiếp.

c. Chứng minh $AM \perp DE$

Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DE$.
Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta AMC$ cân tại $M$.
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{ACB}$).
Theo câu b, ta có $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{ADE}$.
Lại có $\widehat{ADE} + \widehat{AED} = 90^\circ$ (do $\Delta ADE$ vuông tại $A$).
Suy ra $\widehat{MAC} + \widehat{AED} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{AIE} = 90^\circ$.
Kết luận: $AM \perp DE$ (đpcm).

Câu trả lời:

Bài 8. Cho (O) đường kính AB.

a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật

Xét tứ giác $AMBN$ có:
- Hai đường chéo $AB$ và $MN$ cắt nhau tại tâm $O$.
- $OA = OB = OM = ON = R$ (bán kính).
$\Rightarrow$ $O$ là trung điểm của mỗi đường. Vậy $AMBN$ là hình bình hành.
Lại có $AB = MN = 2R$ (hai đường chéo bằng nhau).
Kết luận: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

b. Chứng minh tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp

Vì $AMBN$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
$\Rightarrow AM \perp MB$ hay $AM \perp BC$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (do $BC$ là tiếp tuyến), có $BM$ là đường cao:
- Áp dụng hệ thức lượng: $\widehat{BAM} = \widehat{BCM}$ (cùng phụ với $\widehat{MAC}$).
Mà trong đường tròn $(O)$, $\widehat{BAM} = \widehat{BNM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$).
Từ đó suy ra $\widehat{BCM} = \widehat{BNM}$.
Kết luận: Tứ giác $MNDC$ có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện $\Rightarrow$ Nội tiếp.

c. Chứng minh $AN \cdot AD = AM \cdot AC$

Xét hai tam giác $\Delta AMN$ và $\Delta ADC$:
- Có $\widehat{MAN}$ chung.
- Có $\widehat{AMN} = \widehat{ADC}$ (do tứ giác $MNDC$ nội tiếp ở câu b).
$\Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ADC$ (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AC}$
Kết luận: $AN \cdot AD = AM \cdot AC$ (đpcm).

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a. Nhận xét về tứ giác ADHE

Xét tứ giác $ADHE$ có:
- $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$).
- $\widehat{ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AH$).
- $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AH$).
Nhận xét: Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. Do đó, nó nội tiếp đường tròn $(O)$.

b. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

Vì $ADHE$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{AHE}$ (cùng chắn cung $AE$).
Mà trong $\Delta AHC$ vuông tại $H$, ta có $\widehat{AHE} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$).
Suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
Kết luận: Tứ giác $BDEC$ có góc ngoài bằng góc đối trong nên là tứ giác nội tiếp.

c. Chứng minh $AM \perp DE$

Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DE$.
Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM = MC \Rightarrow \Delta AMC$ cân tại $M$.
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{ACB}$).
Theo câu b, ta có $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{ADE}$.
Lại có $\widehat{ADE} + \widehat{AED} = 90^\circ$ (do $\Delta ADE$ vuông tại $A$).
Suy ra $\widehat{MAC} + \widehat{AED} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{AIE} = 90^\circ$.
Kết luận: $AM \perp DE$ (đpcm).

Bài 8. Cho (O) đường kính AB.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bài 8. Cho (O) đường kính AB.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP