Toán giải tích & đại số

1. Các bài toán về tích phân không chuẩn / cực trị phức tạp
2. • Tính tích phân hoặc cực trị với hàm ẩn trong mũ, log, hoặc tích vô hạn.
   • Ví dụ: \(\int_{0}^{\infty} \frac{sin ⁡ x}{x} d x\) là dễ, nhưng biến thể phức tạp hơn có thể xuất hiện trong các olympic toán quốc tế.
3. Hệ phương trình phi tuyến nhiều ẩn
4. • Giải hệ phương trình:
     \(\left{\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 2 \\ x y z = 0.5\)
   • Dễ viết, khó giải bằng tay.
5. Các bài toán ma trận nâng cao / eigenvalue
6. • Tính giá trị riêng của ma trận có tham số, hoặc chứng minh bất đẳng thức liên quan ma trận.

2️⃣ Toán rời rạc & tổ hợp

1. Bài toán cực trị tổ hợp
2. • Ví dụ: Cho \(n\) điểm trong mặt phẳng, chứng minh số đường chéo tối đa không cắt nhau.
3. Bài toán đồ thị cực đoan
4. • Xác định số lượng cực đại/cực tiểu trên đồ thị có \(n\) đỉnh, hoặc chu trình Hamilton phức tạp.
5. Các bài toán về màu sắc đồ thị (Graph Coloring)
6. • Tìm số màu tối thiểu để tô đồ thị phức tạp, có thể liên quan đến lý thuyết NP-Hard.

3️⃣ Toán xác suất & thống kê nâng cao

1. Bài toán xác suất liên quan biến liên tục phức tạp
2. • Ví dụ: Tính xác suất của một biến ngẫu nhiên nhiều chiều với điều kiện không độc lập.
3. Bài toán thống kê cực đại / cực tiểu
4. • Tìm Maximum Likelihood Estimator (MLE) cho mô hình phi chuẩn, hoặc ước lượng cực đại trong mô hình đa biến.

4️⃣ Toán ứng dụng / vật lý toán

1. Bài toán PDE (Partial Differential Equations) phức tạp
2. • Giải phương trình Laplace, Wave hoặc Heat với điều kiện biên không chuẩn.
3. Bài toán tối ưu hóa liên tục đa biến
4. • Ví dụ: Tối ưu hóa hàm nhiều biến với ràng buộc phi tuyến, có thể xuất hiện trong mô hình kinh tế hoặc kỹ thuật.

💡 anh nguyễn trường an đâu rồi nhỉ

Giải tích và đại số

1. Tích phân đa biến phức tạp
2. • Ví dụ:
     \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{ln ⁡ \left(\right. x + y \left.\right)}{1 + x y} \textrm{ } d x \textrm{ } d y\)
     – Trông đơn giản nhưng cần kỹ thuật biến đổi phi chuẩn.
3. Chuỗi và giới hạn bất thường
4. • Tìm giới hạn:
     \(\underset{n \rightarrow \infty}{lim ⁡} n \left(\right. \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - ln ⁡ n \left.\right)\)
5. Đa thức và bất đẳng thức
6. • Chứng minh: Với \(x , y , z > 0\),
     \(\frac{x^{3}}{y + z} + \frac{y^{3}}{x + z} + \frac{z^{3}}{x + y} \geq \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2}\)

2️⃣ Tổ hợp & đồ thị

1. Đếm đồ thị phức tạp
2. • Cho đồ thị có \(n\) đỉnh, tìm số cách tô màu sao cho không có hai đỉnh kề cùng màu.
3. Chu trình Hamilton phức tạp
4. • Xác định số chu trình Hamilton tối đa trong đồ thị đầy đủ \(K_{n}\).
5. Bài toán cực trị tổ hợp
6. • Ví dụ: Chứng minh rằng với \(n\) điểm trên mặt phẳng, số tam giác tối đa mà không có điểm nào nằm trong tam giác khác là \(\left(\right. \frac{n}{3} \left.\right)\) hoặc ít hơn.

3️⃣ Xác suất & thống kê nâng cao

1. Xác suất biến liên tục nhiều chiều
2. • Cho \(X , Y\) phụ thuộc nhau với hàm mật độ:
     \(f \left(\right. x , y \left.\right) = \frac{6}{7} \left(\right. x + y \left.\right)^{2} , 0 < x < 1 , 0 < y < 1\)
     – Tìm \(P \left(\right. X + Y < 1 \left.\right)\).
3. Biến ngẫu nhiên cực đại / tối ưu hóa
4. • Tìm Maximum Likelihood Estimator (MLE) cho phân phối Beta hai tham số.
5. Bài toán Martingale / quá trình ngẫu nhiên
6. • Cho một chuỗi Bernoulli \(X_{n}\), chứng minh điều kiện dừng \(T\) sao cho \(E \left[\right. X_{T} \left]\right. = E \left[\right. X_{0} \left]\right.\).

4️⃣ Tối ưu hóa & phương trình vi phân (PDE)

1. Tối ưu hóa đa biến phi tuyến
2. • Tối đa hóa:
     \(f \left(\right. x , y , z \left.\right) = x^{2} y z^{3}\)
     – với \(x + y + z = 1 , x , y , z > 0\).
3. Phương trình vi phân từng phần
4. • Giải phương trình Laplace trong hình chữ nhật:
     \(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 , u \mid_{\text{bi} \hat{\text{e}} \text{n}} = sin ⁡ \left(\right. \pi x \left.\right)\)
5. Mô phỏng sóng phi tuyến
6. • Giải phương trình sóng phi tuyến:
     \(\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + u^{3} = 0\)

💡cấm chụp ảnh màn hình tự làm nhé tôi sẽ xem câu trả lời