Để giải bài toán này, ta có thể làm như sau:

Vì a/ab+1 = b/bc+1 = c/ca+1 và a, b, c đôi một khác nhau, ta đặt:

a/(ab+1) = b/(bc+1) = c/(ca+1) = k

Suy ra:

a = k(ab+1) (1)
b = k(bc+1) (2)
c = k(ca+1) (3)

Từ (1) suy ra a = kab + k => a - kab = k => a(1 - kb) = k (4)
Từ (2) suy ra b = kbc + k => b - kbc = k => b(1 - kc) = k (5)
Từ (3) suy ra c = kca + k => c - kca = k => c(1 - ka) = k (6)

Nhân (4), (5), (6) vế theo vế, ta được:

abc(1 - kb)(1 - kc)(1 - ka) = k^3
abc(1 - kb - kc + k^2bc)(1 - ka) = k^3
abc(1 - kb - kc + k^2bc - ka + k^2ab + k^2ac - k^3abc) = k^3
abc - k(ab^2c + abc^2 + a^2bc) + k^2(a^2b^2c + a^2bc^2 + ab^2c^2) - k^3a^2b^2c^2 = k^3
abc - kabc(a+b+c) + k^2abc(ab+bc+ca) - k^3(abc)^2 = k^3

Trừ (1) cho (2): a - b = kab + k - kbc - k = k(ab - bc) = kb(a-c)
Trừ (2) cho (3): b - c = kbc + k - kca - k = kc(b-a)
Trừ (3) cho (1): c - a = kca + k - kab - k = ka(c-b)

Nhân ba phương trình này lại, ta được:

(a-b)(b-c)(c-a) = k^3abc(a-c)(b-a)(c-b) = -k^3abc(a-b)(b-c)(c-a)

Vì a, b, c đôi một khác nhau, nên (a-b)(b-c)(c-a) khác 0. Do đó ta có thể chia cả hai vế cho (a-b)(b-c)(c-a):

1 = -k^3abc

Vậy k^3abc = -1

Từ (1), (2), (3), ta suy ra:
a/k - ab = 1
b/k - bc = 1
c/k - ca = 1

Do đó:
a/k = ab+1
b/k = bc+1
c/k = ca+1

Nhân ba đẳng thức này, ta được:
abc/k^3 = (ab+1)(bc+1)(ca+1)
abc/k^3 = (ab^2c + ab + bc + 1)(ca+1)
abc/k^3 = a^2b^2c^2 + ab^2c + abc^2 + ca + abc + ab + bc + 1
abc/k^3 = (abc)^2 + abc(a+b+c) + ab+bc+ca + 1

Do k^3abc=-1 => abc = -1/k^3. Thay vào, ta được:

-1/k^6 = 1/k^6 - (a+b+c)/k^3 + ab+bc+ca + 1
0 = 2/k^6 - (a+b+c)/k^3 + ab+bc+ca + 1

Nếu a/ab+1=b/bc+1=c/ca+1, suy ra abc = 1 hoặc abc = -1.
Giả sử abc = 1, thay vào k^3abc = -1, ta được k^3 = -1 => k=-1
Nếu abc = -1, thay vào k^3abc = -1, ta được k^3 = 1 => k=1.

Xét k = 1, ta có a/(ab+1) = 1 => a = ab+1 => a(1-b) = 1
Tương tự b(1-c) = 1 và c(1-a) = 1
Nhân vế theo vế, ta được abc(1-a)(1-b)(1-c) = 1. Vì abc = -1 nên (1-a)(1-b)(1-c) = -1.

Vậy P = abc = 1 hoặc P = abc = -1.

Xét trường hợp abc=1:
a/ab+1=b/bc+1=c/ca+1, suy ra a(bc+1)=b(ab+1), tức abc+a=ab^2+b, suy ra a+1=b+ab^2
Tương tự, b+1=c+bc^2 và c+1=a+ca^2.
Nếu abc=1, k=-1
=> a = -ab-1, b = -bc-1, c = -ca-1.
Nhân lại abc = -(abc) - (ab+bc+ca) - 1
1 = -1 - (ab+bc+ca) - 1 => ab+bc+ca = -3
=> abc = 1

Xét trường hợp abc=-1:
a = ab+1, b = bc+1, c= ca+1

Như vậy, ta có P = abc = 1.