a) Chu ký hô hấp: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\left( s \right)\)

Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là \(\frac{60}{6}=10\)(chu kì).

b) Ta có: \(v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}\)

+) v > 0 khi \(0,85\sin \frac{\pi t}{3}>0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}>0\)

Mà – 1 ≤ \(\frac{\pi t}{3}\)≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, \(0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1\).

+) v < 0 khi \(0,85\sin \frac{\pi t}{3}<0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}<0\).

Mà – 1 ≤ \(\frac{\pi t}{3}\)≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, −1 ≤ sin\(\frac{\pi t}{3}\) < 0.

+) Với t ∈ (0; 3) ta có 0 < sin\(\frac{\pi t}{3}\)  ≤ 1.

+) Với t ∈ (3; 5] ta có −1 ≤  sin\(\frac{\pi t}{3}\) < 0.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

Có 2 hướng: tính xác suất bắt được 3 con trắng sau 5,6,7 lần bắt (3 trường hợp) hoặc tính xác suất bắt được 3 con trắng sau 3,4 lần bắt (2 trường hợp) rồi lấy 1 trừ đi kiểu phần bù.

- Bắt được 3 con trắng ngay sau 3 lần bắt đầu tiên: chọn 3 con bất kì từ 7 con có \(A_7^3\) cách chọn, chọn ra 3 con trắng từ 3 con trắng có \(A_3^3\) cách \(\Rightarrow P_1=\frac{A_3^3}{A_7^3}=\frac{1}{35}\)

- Bắt 3 con trắng sau 4 lượt, trong đó lượt 4 là con trắng, 3 lượt còn lại có 2 con trắng: chọn 4 con từ 7 con có \(A_7^4\) cách, chọn 1 con trắng từ 3 con trắng có \(P_3^1\) cách (lượt bắt cuối), chọn 2 con trắng và 1 con đen từ 6 con còn lại có \(C_2^2C_4^1.3!\Rightarrow P_2=\frac{P_3^1.C_3^2.C_4^1.3!}{A_7^4}=\frac{3}{35}\)

\(\Rightarrow P=1-\left(P_1+P_2\right)=\frac{31}{35}\)

a) Nhận xét: u₁ = ; u₂ = ; u₃ = ; ... u_n = .

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

b) lim u_n = lim ()ⁿ= 0 = vì lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

c) Đổi 10^-6 g = . kg = kg.

Muốn có u_n = < , ta cần chọn n₀ sao cho 2ⁿ₀ > 10⁹. Chẳng hạn, với n₀ = 36, thì

2³⁶ = (2⁴)⁹ = 16 ⁹ > 10⁹. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864 000 (năm), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.

a) Lượng nước biển bơm vào hồ sau \(t\) phút là: \(15t\) (lít).

Khối lượng muối có trong hồ sau \(t\) phút là: \(30.15t\) (gam).

Sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: \(6000 + 15t\) (lít).

Nồng độ muối tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là: \(C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{6000 + 15t}} = \frac{{30.15t}}{{15\left( {400 + t} \right)}} = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{400 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{400}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{400}}{t} + 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30\) (gam/lít).

Vậy nồng độ muối trong hồ càng dần về 30 gam/lít, tức là nước trong hồ gần như là nước biển, khi \(t \to  + \infty \).