$n$ tiến đến đâu vậy bạn?

Câu 2:

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

\(\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)})=\lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=1-0=1\)

Hỏng biết lun

Hoặc là bạn ghi đề sai hoặc là đáp án sai

Đầu tiên là \(\left(\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right)\) số dương đứng trước số âm thấy hơi kì

Thứ 2 là bạn chắc kí hiệu khoảng đoạn này chính xác chứ?

Từ đường tròn lượng giác ta thấy \(-\frac{\pi}{3}< cosx\le\frac{\pi}{3}\Rightarrow\frac{1}{2}\le y\le1\)

Hay \(y\in\left[\frac{1}{2};1\right]\)

a/ \(=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\infty}=0\)

b/ \(=lim\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+5n+1}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{6+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=\frac{6}{1+1}=3\)

c/ \(=lim\frac{6n-9}{\sqrt{3n^2+2n-1}+\sqrt{3n^2-4n+8}}=lim\frac{6-\frac{9}{n}}{\sqrt{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2}}}=\frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

d/ \(=lim\frac{\left(\frac{2}{6}\right)^n+1-4\left(\frac{4}{6}\right)^n}{\left(\frac{3}{6}\right)^n+6}=\frac{1}{6}\)

e/ \(=lim\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n-1}=\frac{1}{-1}=-1\)

f/ Ta có công thức:

\(1+3+...+\left(2n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow lim\frac{1+3+...+2n+1}{3n^2+4}=lim\frac{\left(n+1\right)^2}{3n^2+4}=lim\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3+\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{3}\)

g/ \(=lim\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=lim\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1\)

h/ Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

\(\Rightarrow lim\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=lim\frac{2n+1}{6n+12}=lim\frac{2+\frac{1}{n}}{6+\frac{12}{n}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

\(\left(sin\dfrac{x}{2}-cox\dfrac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3}cosx=2sin5x+1\)

⇔\(sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}-2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}cosx=2sin5x+1\)

⇔\(1-sinx+\sqrt{3}cosx=2sin5x+1\)

⇔\(sin\left(\dfrac{\Pi}{3}-x\right)=sin5x\)

\(2sinx\left(\sqrt{3}cosx+sinx+2sin3x\right)=1\)

⇔\(2\sqrt{3}sinxcosx+2sin^2x+4sinxsin3x=1\)

⇔\(\sqrt{3}sin2x+1-cos2x+cos2x-2cos4x=1\)

⇔\(\sqrt{3}sin2x+cos2x=2cos4x\)

⇔\(cos\left(2x-\dfrac{\Pi}{3}\right)=cos4x\)

Nhanh nhất là sử dụng công thức tổng cấp số nhân với \(u_1=\frac{1}{2}\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\) , khỏi cần quy nạp mất thời gian:

\(S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\right)=1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\)

lim\(\frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}\)=lim\(\frac{n^2\left(3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)}\)=\(\frac{3}{2}\)

lim\(\frac{\sqrt{9n^2-n}+1}{4n-2}\)=lim\(\frac{n\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{n\left(4-\frac{2}{n}\right)}\)=lim\(\frac{\sqrt{9}}{4}\)=\(\frac{3}{2}\)

1)

Vì -1\(\le\) sin(5n)\(\le\) 1

Nên \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\left(\frac{\sin\left(5n\right)}{3n}-2\right)\) = -2

2)

\(-1\le\cos2n\le1\)

Có \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\left(5-\frac{\left(n^2\cos2n\right)}{n^2+1}\right)\)

= \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}5-\frac{\left(\cos2n\right)}{1+\frac{1}{n^2}}\) =A => A nhận các giá trị trong đoạn [4;6]

3)

Có \({\sum_1^{+\infty}\frac{\frac{n}{2}}{n^2+1}}\) =\(\) \(\frac{\frac12+\frac12\left(n-1\right)}{n^2+1}\) nên lim của nó =0

4)

4)

\(\sum_1^{+\infty}\) \(\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n}}\) =\(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\) \(\frac{\frac12\left(1-\left(-\frac12\right)^{n}\right)}{1-\frac{-1}{2}}\) =\(\frac13\)

5)

\(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\) \(\frac{n-2\sqrt{n}\sin2n}{2n}\) =\(\frac12\)

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =

Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S_k+1 = S_k + 3k + 2 = + 3k + 2

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*

b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh .

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² =

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). = (k + 1)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*