mk mới học lớp 5

Sao lạ thế nhỉ, áp cái được luôn?

\(2a+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt[3]{2a.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}=3\sqrt[3]{2c}\)

Đẳng thức tự xét.

Vì a, b, c > 0 

=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0

Áp dụng bđt Cauchy cho :

• Bộ số a/b, 1 ta được : 

\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)

• Bộ số b/c, 1

\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)

• Bộ số c/a, 1

\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)

Nhân (1), (2) và (3) theo vế

=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

à nhầm tí :v \(8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8\cdot1=8\)nhé ._.

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Cái này chuẩn CBS dạng đặc biệt với hai tử số bằng 1

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Cauchy đi mài ._.

Vì a, b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy cho :

• Bộ số a, b ta được :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

• Bộ số 1/a, 1/b ta được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\cdot\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân hai vế tương ứng ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b 

\(P=\frac{8x+12}{x^2+4}=\frac{4x^2+16-4x^2+8x-4}{x^2+4}\)

\(=4-\frac{\left(2x-2\right)^2}{x^2+4}\le4\)

Vậy GTLN là 4

GTLN của P là 4

=2033

=246913578

goole hết bn ak

1. ng sih của bn = 2033

2. dài lém mak mk hơi lười nên m tính giúp mìn nhak

Chắc chắn giả thiết phải là \(a+b+c\le1\).

Áp dụng BĐT Schwars ta có \(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\).

Còn nếu \(a+b+c\ge1\) thì cho a = b = c = 10000 chẳng hạn sẽ sai.

Với x, y, z > 0 ta có BĐT:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\).

BĐT trên dễ dàng dc cm nhờ BĐT Côsi

Thật vậy, theo BĐT C-S thì:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\).

Nhân vế với vế ta có:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (đpcm).