Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 3:

a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b

b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)

Bài 1:

a: Xét ΔOAB có \(OA^2+OB^2=AB^2\left(R^2+R^2=2R^2\right)\)

nên ΔOAB vuông tại O

=>\(\hat{AOB}=90^0\)

=>sđ cung nhỏ AB là 90 độ

Số đo cung lớn AB là \(360-90=270^0\)

b: Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)

\(=\frac{R^2+R^2-\left(R\sqrt3\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{2R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac12\)

=>\(\hat{AOB}=120^0\)

=>Số đo cung nhỏ AB là 120 độ

Số đo cung lớn AB là \(360^0-120^0=240^0\)

Bài 2: Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)

\(=\frac{R^2+R^2-\left(R\sqrt3\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{2R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac12\)

=>\(\hat{AOB}=120^0\)

=>sđ cung AB=120 độ

Ta có: sđ cung AB+sđ cung BC+sđ cung AC=360 độ

=>sđ cung AC=360-120-30=210 độ>180 độ

=>Số đo cung nhỏ AC là \(360^0-210^0=150^0\)

Độ dài cung nhỏ AC là:

\(l=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot150}{180}=\pi\cdot R\cdot\frac56\)

Bài 3:

Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)

\(=\frac{R^2+R^2-\left(R\sqrt3\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{2R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac12\)

=>\(\hat{AOB}=120^0\)

Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)

\(=\frac{R^2+R^2-\left(R\sqrt3\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{2R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac12\)

=>\(\hat{AOC}=120^0\)

Ta có: \(\hat{AOB}+\hat{AOC}+\hat{BOC}=360^0\)

=>\(\hat{BOC}=360^0-120^0-120^0=120^0\)

Độ dài cung nhỏ AB là:

\(l_{AB}=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot120}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot2}{3}\)

Độ dài cung nhỏ AC là:

\(l_{AC}=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot120}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot2}{3}\)

Độ dài cung nhỏ BC là:

\(l_{CB}=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot120}{180}=\frac{\pi\cdot R\cdot2}{3}\)

Bài 1:

Vì năng suất của người thứ hai trong 1 ngày=2/3 năng suất của người thứ nhất trong 1 ngày nên thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc khi làm một mình sẽ bằng \(1:\frac23=\frac32\) thời gian người thứ nhất hoàn thành xong công việc khi làm một mình

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành xong công việc khi làm một mình là x(ngày)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc khi làm một mình là:

\(\frac32x=1,5x\) (ngày)

Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Trong 1 ngày, người thứ hai làm được: \(\frac{1}{1,5x}=\frac{2}{3x}\) (công việc)

Trong 1 ngày, hai người làm được: \(\frac{1}{12}\) (công việc)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}=\frac{1}{12}\)

=>\(\frac{3}{3x}+\frac{2}{3x}=\frac{1}{12}\)

=>\(\frac{5}{3x}=\frac{1}{12}\)

=>3x=60

=>x=20(nhận)

Vậy: thời gian người thứ nhất hoàn thành xong công việc khi làm một mình là 20(ngày)

thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc khi làm một mình là \(1,5\cdot20=30\) (ngày)

Bài 2: Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x(m)

(Điều kiện: x>3)

Chiều dài của hình chữ nhật là 3x(m)

Chiều dài sau khi tăng thêm 2m là 3x+2(m)

Chiều rộng sau khi giảm đi 3m là x-3(m)

Diện tích giảm đi \(90m^2\) nên ta có:

\(3x\cdot x-\left(3x+2\right)\left(x-3\right)=90\)

=>\(3x^2-3x^2+9x-2x+6=90\)

=>7x=90-6=84

=>\(x=\frac{84}{7}=12\) (nhận)

vậy: Chiều rộng ban đầu là 12m

Chiều dài ban đầu là \(12\cdot3=36m\)

Bài 3:

Gọi tử số là x

Mẫu số là x+11

Tử số sau khi tăng thêm 3 đơn vị là x+3

Mẫu số sau khi giảm đi 4 đơn vị là x+11-4=x+7

Phân số mới bằng vơi 3/4 nên ta có:

\(\frac{x+3}{x+7}=\frac34\)

=>4(x+3)=3(x+7)

=>4x+12=3x+21

=>4x-3x=21-12

=>x=9(nhận)

Vậy: Phân số ban đầu là \(\frac{9}{9+11}=\frac{9}{20}\)

a: Diện tích ban đầu là \(8\cdot20=160\left(m^2\right)\)

Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất của phần bị thu hồi là

20-2x(m)

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai của phần bị thu hồi là:

8-x(m)

Diện tích phần bị thu hồi là:

\(T=\frac12\left(20-2x\right)\left(8-x\right)=\frac12\left(2x-20\right)\left(x-8\right)=\left(x-10\right)\left(x-8\right)\left(m^2\right)\)

b: Diện tích đất bị thu hồi là 455:13=35(m)

=>(x-10)(x-8)=35

=>\(x^2-18x+80-35=0\)

=>\(x^2-18x+45=0\)

=>(x-3)(x-15)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ x-15=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\left(nhận\right)\\ x=15\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Vậy: x=3

bài 4: gọi x; y (km/h) lần lượt là vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B (x, y >0)

*trường hợp 1:

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: 7,5x (km)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 7,5y(km)

vì 2 xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 7g30p nên ta có:

\(\left(x+Y\right)\cdot7,5=525\Rightarrow x+y=70\left(1\right)\)

*trường hợp 2

Vận tốc của xe A khi tăng gấp đôi ngay từ đầu là: 2x (km/h)

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: \(2x\cdot5,25\left(\operatorname{km}\right)\)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 5,25y (km)

vì 2 xe gặp nhau sau 5 giờ 15 phút nên ta có:

\(\left(2x+y\right)\cdot5,25=525\Rightarrow2x+y=100\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=70\\ 2x+y=100\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=30\\ y=40\end{cases}\left(TM\right)\)

vậy vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B lần lượt là 30km/h và 40km/h

bài 5: gọi x, y, z (m vuông) lần lượt là diện tích lô 1, lô 2 và lô 3 (x,y,z > 0)

lô 1 gấp 3/2 lần tổng diện tích 2 lô còn lại nên:

\(x=\frac32\cdot\left(y+z\right)\)

lô 3 lớn hơn lô 2 200m² nên ta có:

\(y+200=z\)

mà khu đất đó có diện tích là 2000m² nên:

\(\frac32\cdot\left(y+z\right)+y+z=2000\)

\(\Rightarrow\frac52\cdot\left(y+z\right)=2000\)

\(\Rightarrow y+z=800\)

Mà z = y + 200 nên

\(y+y+200=800\Rightarrow2y=600\Rightarrow y=300\) (TM)

⇒ z = 300 + 200 = 500 (TM)

⇒ x = \(\frac32\cdot\left(500+300\right)=1200\) (TM)

Vậy diện tích lô 1, lô 2, lô 3 lần lượt là 1200m², 300m², 500m²

Bài 5

a) Gọi a (h), b (h) lần lượt là thời gian làm một mình xong công việc của người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai (x, y > 0)

Trong 1 h, người thứ nhất làm được số công việc là:

Trong 1 h, người thứ hai làm được số công việc là:

Trong 1 h, hai người cùng làm được số công việc là:

Trong 3 h, người thứ nhất làm được số công việc là:

Trong 6 h, người thứ hai làm được số công việc là:

Đặt:

Thế (3) vào (4), ta có:

⇒ b = 48 (nhận)

Thế b = 48 vào (1), ta có:

⇒ a = 24 (nhận)

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất xong công việc trong 24 h, người thứ hai xong công việc trong 48 h

tự nghĩ đi