Ta có: \(x^2-5x+3=0\)

Áp dụng định lí viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3\end{cases}}\)

a) \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2.3=19\)

b) \(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=5^3-3.5.3=80\)

c) \(C=\left|x_1-x_2\right|\)>0

=> \(C^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=19-2.3=13\)

=> C = căn 13

d) \(D=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=5+\frac{5}{3}=5\frac{5}{3}\)

e) \(E=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}=\frac{\left(x_1+x_2\right)+6}{x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}=\frac{5+6}{3+3.5+9}=\frac{11}{27}\)

g) \(G=\frac{x_1-3}{x_1^2}+\frac{x_2-3}{x_2^2}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-3\left(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\right)\)

\(=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}-3\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2.x_2^2}=\frac{5}{3}-3.\frac{19}{3^2}=-\frac{14}{3}\)

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\)

\(1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b^2+c^2}{bc}=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 3 số "1"; "\(\frac{b}{c}\)";"\(\frac{c}{b}\)" có:

1+\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt{1.\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}\ge3\)

Hay 1 + \(\frac{a^2}{bc}\ge3\:\)(*)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}\ge2\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 2 số "\(\frac{a}{c}\)";"\(\frac{a}{b}\)" có:

\(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{a}{b}}=2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra: \(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{2}\) (**)

Cộng (*),(**) vế theo vế ta có: \(1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\ge3+2\sqrt{2}\)

Hay \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\left(dpcm\right)\)

Đổi tên thành "Thử thách cuối tuần" chứ mấy bài này không giải trí mấy.

Bài 1:

Căng quá, đang đi cứu trợ :))

Bài 2:

Xét \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{1+y+z+yz}=\frac{yz+y+z+1+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(=\frac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{\left(y+1\right)-\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{y+1}\)

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên chứng minh tương tự với 3 phân thức còn lại ta cũng có:

\(\frac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}=1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{z+1}\)

\(\frac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}=1+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{x+1}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức ta có:

\(P=1+1+1+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z+1}\right)=3\)

Vậy....

Bài 3:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo Pytago ta có:

\(a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow a=\sqrt{b^2+c^2}\)

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}=1+a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{b^2+c^2}{bc}\) (1)

Áp dụng BĐT Cô-si:

+) \(b^2+c^2\ge2bc\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}\ge2\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}+1\ge3\) (2)

+) \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{4}{bc}\) (3)

Từ (2) và (3) ta có: \(\left(b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge2bc\cdot\frac{4}{bc}=8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{b^2+c^2}\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}\) (4)

Từ (1), (2) và (4) suy ra \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\) hay tam giác ABC vuông cân tại A.

Thời gian được tính từ 7 giờ 30 phút từ sáng mai nha mọi người :D ai làm được bài nào ( 1 ý thôi cũng được ) thì " chốt đơn" 11h post lên nhé :D 

Bất đẳng thức học kì mà cho vậy có lẽ không phù hợp á bác Cool Kid.

C vì nó đứng yên sau 12 giờ thời gian quay lại đúng vị trí mà đồng hồ C dừng

Sau 12 giờ, chiếc đồng hồ C cho biết thời gian gần đúng nhất, vì đồng hồ C đứng yên lên sau 12 giờ thì chúng ta vẫn sẽ biết giờ một cách dễ dàng.

Nhân liên hợp là ra -.-

a, Có: \(\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{a^2+2019}-a\right)=a^2+2019-a^2=2019\)

Mà \(\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{b^2+2019}+b\right)=2019\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}+b\)(1)

b,Tương tự câu a sẽ c/m được \(\sqrt{a^2+2019}+a=\sqrt{b^2+2019}-b\)(2)

Lấy (1) trừ (2) theo từng vế được

\(\sqrt{a^2+2019}-a-\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}+b-\sqrt{b^2+2019}+b\)                                   \(\Leftrightarrow-2a=2b\)

  \(\Leftrightarrow-a=b\)

  \(\Rightarrow-a^{2019}=b^{2019}\)

Ta có: \(P=a^{2019}+b^{2019}+2019\)

              \(=a^{2019}-a^{2019}+2019\)

               \(=2019\)

a)Theo giả thiết thì \(VT=\frac{\left(\sqrt{a^2+2019}+a\right)\left(\sqrt{a^2+2019}-a\right)}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{\left(\sqrt{b^2+2019}+b\right)\left(\sqrt{b^2+2019}-b\right)}{\sqrt{b^2+2019}-b}=2019\)

\(\Leftrightarrow\frac{2019}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{2019}{\sqrt{b^2+2019}-b}=2019\)  

 \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+2019}-a}.\frac{1}{\sqrt{b^2+2019}-b}=1\) (chia hai vế cho 2019)

Suy ra \(\sqrt{a^2+2019}-a=\sqrt{b^2+2019}-b\)?!? (lạ nhỉ,hay là tui làm sai gì đó chăng?)

ok , cảm ơn bạn !!!

Bài toán rất hay và bổ ích !!!

Đây nhé 

Đặt b + c = x ; c + a = y ;  a + b = z 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)

Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có : 

\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)

( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y) 

🔷 Đề bài:

Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).

a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.

b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.

Chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC

Dữ kiện:

• Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
• \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
• \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
• Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.

✳️ Tính cạnh AB:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Tính các góc B và C:

Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông tại A:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)

✅ Kết quả phần a:

\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)

🔹 Phần b) – Chứng minh:

Gọi:

• H là chân đường cao từ A
• M là hình chiếu của H lên AB
• K là hình chiếu của H lên AC

Cần chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

🎯 Chiến lược giải:

Chúng ta sẽ:

1. Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
2. Dựng các hình chiếu M, K
3. Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
4. Chứng minh đẳng thức

✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Gọi \(A H \bot B C\)
• \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
• \(M\) là hình chiếu của H lên AB
• \(K\) là hình chiếu của H lên AC

✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):

Giả sử:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
• • \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
  • \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)

→ Khi đó:

• \(A B = 12\)
• \(A C = 16\)
• \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)

✳️ Bước 3: Tính AH

Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)

✳️ Bước 4: Tính BM và CK

Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.

Tam giác ABH vuông tại H:

• Góc \(\angle A B H = \angle B\)
• Trong tam giác vuông ABH:
  \(B M = A H \cdot cos ⁡ B\)

Tam giác ACH vuông tại H:

• Góc \(\angle A C H = \angle C\)
• Trong tam giác vuông ACH:
  \(C K = A H \cdot sin ⁡ B\)

(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos ⁡ C = sin ⁡ B\))

✳️ Tính tổng:

\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài yêu cầu:

\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos ⁡ B\) và \(sin ⁡ B\):

Ta biết:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos ⁡ B\)\(sin ⁡ B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin ⁡ B\)

Rồi:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos ⁡ B \cdot B C \cdot sin ⁡ B}{B C} = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B\)

Thay vào biểu thức:

\(B M = A H \cdot cos ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot cos ⁡ B = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B\)\(C K = A H \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B\)

Tổng lại:

\(B M + C K = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B + B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài là:

\(B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

Nhận xét:

Dùng đẳng thức đáng nhớ:

\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)

Không giống trực tiếp.

Nhưng:

Từ trước:

\(B M = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B (\text{2})\)

Tổng:

\(B M + C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Mặt khác:

\(\left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{2} B - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B + \left(sin ⁡\right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. 1 - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left.\right)\)

⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.

✅ Kết luận:

\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)}\)

Chứng minh hoàn tất.

Tham khảo